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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Do 19.12.2013 | | Autor: | HugATree |
Guten Abend,
ich habe eine Frage zum limsup/inf von Folgen von Mengen.
Wenn ich die Mengenfolge [mm] $A_n:=[0,\frac{1}{n}]$ [/mm] auf der Grundmenge [mm] $\Omega [/mm] :=[0,1]$ betrachte, dann gilt doch:
[mm] $\limes_{n\to \infty} \sup A_n=\{0\}$, [/mm] da 0 das einzige Element, das in unendlich vielen [mm] $A_n$ [/mm] vorkommt.
Und [mm] $\limes_{n\to \infty} \inf A_n [/mm] = [mm] \{0\}$, [/mm] da nur die Null in fast allen [mm] $A_n$ [/mm] enthalten ist.
Ich habe als Limsup auf einer Seite gefunden, dass anscheinend gilt [mm] $\limes_{n\to \infty} \inf A_n [/mm] = [mm] \Omega$
[/mm]
Aber z.B. das Element $x=1$ ist doch nur in [mm] $A_1$ [/mm] enthalten und für alle [mm] $n\geq [/mm] 2$ nicht mehr, also in unendlich vielen [mm] $A_n$ [/mm] NICHT enthalten.
Habe ich hier nun etwas falsch verstanden?
Vielen Dank
HugATree
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Do 19.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend,
>
> ich habe eine Frage zum limsup/inf von Folgen von Mengen.
>
> Wenn ich die Mengenfolge [mm]A_n:=[0,\frac{1}{n}][/mm] auf der
> Grundmenge [mm]\Omega :=[0,1][/mm] betrachte, dann gilt doch:
> [mm]\limes_{n\to \infty} \sup A_n=\{0\}[/mm], da 0 das einzige
> Element, das in unendlich vielen [mm]A_n[/mm] vorkommt.
> Und [mm]\limes_{n\to \infty} \inf A_n = \{0\}[/mm], da nur die Null
> in fast allen [mm]A_n[/mm] enthalten ist.
> Ich habe als Limsup auf einer Seite gefunden, dass
> anscheinend gilt [mm]\limes_{n\to \infty} \inf A_n = \Omega[/mm]
>
> Aber z.B. das Element [mm]x=1[/mm] ist doch nur in [mm]A_1[/mm] enthalten und
> für alle [mm]n\geq 2[/mm] nicht mehr, also in unendlich vielen [mm]A_n[/mm]
> NICHT enthalten.
> Habe ich hier nun etwas falsch verstanden?
schau mal
![[]](/images/popup.gif) hier (klick!):
Demnach ist hier
[mm] $\liminf_{n \to \infty} A_n=\bigcup_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcap_{m=n}^\infty A_m}_{=\{0\} \text{ --- wieso?}}=\bigcup_{n=1}^\infty \{0\}=\{0\}$
[/mm]
und
[mm] $\limsup_{n \to \infty} A_n=\bigcap_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcup_{m=n}^\infty A_m}_{=A_n \text{ --- wieso?}}=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{0\}\,.$
[/mm]
Deine Überlegung ist demnach richtig, und [mm] $0\,$ [/mm] ist auch das einzige Element,
dass sowohl in unendlich vielen als auch in allen bis auf endlich viele [mm] $A_n$
[/mm]
liegt.
(Der Beweis ist einfach: [mm] $0\,$ [/mm] liegt sowieso in allen [mm] $A_n.$ [/mm] Ist nun $0 < x [mm] \le 1\,,$ [/mm] so betrachte
[mm] ${\ell_{0}}_x:=\lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor +1\,.$
[/mm]
Dann gilt sicher $x [mm] \notin A_\ell$ [/mm] für alle [mm] $\ell \ge {\ell_{0}}_x,$ [/mm] denn:
Dies folgt aus
[mm] $\left(\lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor \le\right)$ $\tfrac{1}{x} [/mm] < [mm] \lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor +1={\ell_0}_x.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 19.12.2013 | | Autor: | HugATree |
> Hallo,
>
> > Guten Abend,
> >
> > ich habe eine Frage zum limsup/inf von Folgen von Mengen.
> >
> > Wenn ich die Mengenfolge [mm]A_n:=[0,\frac{1}{n}][/mm] auf der
> > Grundmenge [mm]\Omega :=[0,1][/mm] betrachte, dann gilt doch:
> > [mm]\limes_{n\to \infty} \sup A_n=\{0\}[/mm], da 0 das einzige
> > Element, das in unendlich vielen [mm]A_n[/mm] vorkommt.
> > Und [mm]\limes_{n\to \infty} \inf A_n = \{0\}[/mm], da nur die
> Null
> > in fast allen [mm]A_n[/mm] enthalten ist.
> > Ich habe als Limsup auf einer Seite gefunden, dass
> > anscheinend gilt [mm]\limes_{n\to \infty} \inf A_n = \Omega[/mm]
>
> >
> > Aber z.B. das Element [mm]x=1[/mm] ist doch nur in [mm]A_1[/mm] enthalten und
> > für alle [mm]n\geq 2[/mm] nicht mehr, also in unendlich vielen [mm]A_n[/mm]
> > NICHT enthalten.
> > Habe ich hier nun etwas falsch verstanden?
>
> schau mal
>
> hier (klick!):
>
> Demnach ist hier
>
> [mm]\liminf_{n \to \infty} A_n=\bigcup_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcap_{m=n}^\infty A_m}_{=\{0\} \text{ --- wieso?}}=\bigcup_{n=1}^\infty \{0\}=\{0\}[/mm]
Ah, natürlich, Null als einziges Element in allen An also Schnitt natürlich Menge mit 0.
>
> und
>
> [mm]\limsup_{n \to \infty} A_n=\bigcap_{n=1}^\infty \underbrace{\bigcup_{m=n}^\infty A_m}_{=A_n \text{ --- wieso?}}=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{0\}\,.[/mm]
>
Hier , wegen [mm] $A_{n+1}\subset A_{n}$, [/mm] ist die Vereinigung die Menge mit kleinstem Index, also hier natürlich [mm] $A_n$.
[/mm]
Ich war verunsichert, weil ich
hier
eine andere Lösung gefunden habe (vorletzer Post).
Dann wäre ein Beispiel für Mengenfolgen, bei denen der limsup ungleich dem liminf ist z.B.:
[mm] $B_n:=\{(-1)^n\}\cup\{2\}$
[/mm]
Mit:
[mm] $\limes_{n\to\infty}\sup B_n =\{-1,1,2\}$
[/mm]
und
[mm] $\limes_{n\to\infty}\inf B_n =\{ 2\}$
[/mm]
richtig?
> Deine Überlegung ist demnach richtig, und [mm]0\,[/mm] ist auch das
> einzige Element,
> dass sowohl in unendlich vielen als auch in allen bis auf
> endlich viele [mm]A_n[/mm]
> liegt.
>
> (Der Beweis ist einfach: [mm]0\,[/mm] liegt sowieso in allen [mm]A_n.[/mm]
> Ist nun [mm]0 < x \le 1\,,[/mm] so betrachte
>
> [mm]{\ell_{0}}_x:=\lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor +1\,.[/mm]
>
> Dann gilt sicher [mm]x \notin A_\ell[/mm] für alle [mm]\ell \ge {\ell_{0}}_x,[/mm]
> denn:
>
> Dies folgt aus
>
> [mm]\left(\lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor \le\right)[/mm]
> [mm]\tfrac{1}{x} < \lfloor \tfrac{1}{x} \rfloor +1={\ell_0}_x.[/mm])
>
> Gruß,
> Marcel
Vielen Vielen Dank für die schnelle, super Antwort :)
Liebe Grüße
HugATree
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Hiho,
> Ich war verunsichert, weil ich hier eine andere Lösung gefunden habe (vorletzer Post).
Jop, der Post von luis ist falsch. Kannst ihm ja eine PN schicken, damit er es korrigiert 
> Dann wäre ein Beispiel für Mengenfolgen, bei denen der
> limsup ungleich dem liminf ist z.B.:
>
> [mm]B_n:=\{(-1)^n\}\cup\{2\}[/mm]
>
> Mit:
> [mm]\limes_{n\to\infty}\sup B_n =\{-1,1,2\}[/mm]
> und
> [mm]\limes_{n\to\infty}\inf B_n =\{ 2\}[/mm]
> richtig?
Ja.
Und wenn du in Zukunft noch \limsup statt \lim\sup verwendest, steht es auch richtig da 
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Do 19.12.2013 | | Autor: | HugATree |
Vielen Dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Do 19.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Wenn Du in dem Link den Teil bzgl. der monotonen Konvergenz liest, so
bestätigt das auch nochmal die Überlegungen:
Deine Folge der [mm] $A_n$ [/mm] ist monoton fallend und strebt daher gegen
[mm] $\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{0\}.$
[/mm]
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