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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 19.11.2011 | | Autor: | nobodon |
Hallo Leute,
ich hab mal wieder eine kurze Frage:
ich verstehe folgende Limes Superior Definitionen nicht:
[mm] 1$\inf_{j \in \mathbb{R}} \sup_{n \geq j} x_n [/mm] $
ist dasselbe wie
[mm] 2$\limsup_{n \to\infty} x_n$
[/mm]
(Es existiert ein Häufungspunkt in R)
2. verstehe ich so, die Menge aller Häufungspunkte c mit $ c [mm] \geq x_n$ [/mm] lasse ich gegen unendlich laufen`?
1. ab einem bestimmten j sind alle anderen Folgeglieder kleiner, s.d. man sagen kann das j-te Folgeglied ist größer als alles andere nach ihm, aber das steht doch im Widerspruch zur 1 ?Was ist das Inf und Sup in der Bezeichnung ? Supremum und Infinum? wenn ja, dann bilde ich erst das Supremum der Folge und davon das Infinum? WO macht das Sinn?
danke für Hilfe
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Mit (1) meint man das Infimum der Suprema der Endstücke der Folgenglieder:
Nehmen wir als Beispiel die Folge [mm] $x_n [/mm] = [mm] \bruch [/mm] 1 n$.
Das $j-te$ Endstück der Folge ist
[mm] $\{x_n\mid j\le n\}$.
[/mm]
Das Supremum dieses Endstücks ist:
[mm] $s_j=\sup \{x_n\mid j\le n\}=\sup\{1/n\mid j\le n\}=1/j$
[/mm]
Und das Infimum aller Suprema ist:
[mm] \inf_{j\in\IN} \sup_{j\le n} x_n [/mm] = [mm] \inf_{j\in\IN} s_j [/mm] = [mm] \inf_{j\in\IN} [/mm] 1/j = 0.
Mit (2) meint man den größten Häufungspunkt der Folge, in unserem Beispiel wäre das auch $0$, da die Folge nur den einzigen Häufungspunkt $0$ hat. Dies ist nun kein Zufall, denn man kann tatsächlich
[mm] $\inf_{j\in\IN} \sup_{j\le n} x_n [/mm] = [mm] \limsup_{n\to \infty} x_n$
[/mm]
für jede beschränkte Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] zeigen.
Hilft das?
Grüße Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Sa 19.11.2011 | | Autor: | nobodon |
hmm es hilft etwas, aber es würde komplett helfen wenn du mir dieses Beispiel erläuterst:
ich definiere eine Folge
[mm] $a_n [/mm] = 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 $ usw
Also gibt es 4 Häufungspunkte denn es gibt 4 Teilfolgen die gegen diese Werte konvergieren:
[mm] $a_{4n+4} [/mm] = 4,4,4,4,..$
[mm] $a_{4n+3} [/mm] = 3,3,3,3..$
[mm] $a_{4n+2} [/mm] = 2,2,2,,2....$
[mm] $a_{4n+1} [/mm] =1,1,1,...$
Dann ist laut 1)
$ [mm] s_j=\sup \{x_n\mid j\le n\}=\sup\{1/n\mid j\le n\}=a_j [/mm] $
das Supremum der Folge [mm] $a_n$ [/mm] ist 4 und dann ist das
Inf sup [mm] (a_n) [/mm] = inf 4 = 4 ??
oder?> Mit (1) meint man das Infimum der Suprema der Endstücke
> der Folgenglieder:
> Nehmen wir als Beispiel die Folge [mm]x_n = \bruch 1 n[/mm].
> Das
> [mm]j-te[/mm] Endstück der Folge ist
>
> [mm]\{x_n\mid j\le n\}[/mm].
>
> Das Supremum dieses Endstücks ist:
>
> [mm]s_j=\sup \{x_n\mid j\le n\}=\sup\{1/n\mid j\le n\}=1/j[/mm]
>
> Und das Infimum aller Suprema ist:
>
> [mm]\inf_{j\in\IN} \sup_{j\le n} x_n[/mm] = [mm]\inf_{j\in\IN} s_j[/mm] =
> [mm]\inf_{j\in\IN}[/mm] 1/j = 0.
>
> Mit (2) meint man den größten Häufungspunkt der Folge,
> in unserem Beispiel wäre das auch [mm]0[/mm], da die Folge nur den
> einzigen Häufungspunkt [mm]0[/mm] hat. Dies ist nun kein Zufall,
> denn man kann tatsächlich
>
> [mm]\inf_{j\in\IN} \sup_{j\le n} x_n = \limsup_{n\to \infty} x_n[/mm]
>
> für jede beschränkte Folge [mm](x_n)[/mm] zeigen.
>
> Hilft das?
>
> Grüße Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> hmm es hilft etwas, aber es würde komplett helfen wenn du
> mir dieses Beispiel erläuterst:
>
> ich definiere eine Folge
> [mm]a_n = 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4[/mm] usw
> Also gibt es 4 Häufungspunkte denn es gibt 4 Teilfolgen
> die gegen diese Werte konvergieren:
> [mm]a_{4n+4} = 4,4,4,4,..[/mm]
> [mm]a_{4n+3} = 3,3,3,3..[/mm]
> [mm]a_{4n+2} = 2,2,2,,2....[/mm]
>
> [mm]a_{4n+1} =1,1,1,...[/mm]
>
> Dann ist laut 1)
> [mm]s_j=\sup \{x_n\mid j\le n\}=\sup\{1/n\mid j\le n\}=a_j[/mm]
>
> das Supremum der Folge [mm]a_n[/mm] ist 4 und dann ist das
> Inf sup [mm](a_n)[/mm] = inf 4 = 4 ??
Genau! Jedes der [mm] $s_j$ [/mm] ist 4, Du hast also eine konstante Folge, die Menge ihrer
Folgenglieder ist [mm] $\{4\}$ [/mm] und das Infimum dieser Menge ist 4.
OK?
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Sa 19.11.2011 | | Autor: | nobodon |
Ok last question xD!
Ist beim "Inf sup [mm] a_n" [/mm] das "Inf" eigentlich nutzlos? ich meine nachdem ich von einer Folge das Supremum bestimmt habe bleibt ein Wert übrig, d.h. ein konstanter Wert. Und Wenn ich davon, vom konstanten Wert, das Inf. bilde bleibt es unverändert, also ist das Inf nutzlos??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Ok last question xD!
> Ist beim "Inf sup [mm]a_n"[/mm] das "Inf" eigentlich nutzlos? ich
> meine nachdem ich von einer Folge das Supremum bestimmt
> habe bleibt ein Wert übrig, d.h. ein konstanter Wert. Und
> Wenn ich davon, vom konstanten Wert, das Inf. bilde bleibt
> es unverändert, also ist das Inf nutzlos??
Nein. Nimm das Beispiel [mm] $x_n=1/n$. [/mm] Das Supremum aller Folgenglieder ist 1, weil dies die kleinste obere Schranke von [mm] $\{1/n\mid n\in\IN\}$ [/mm] ist, aber [mm] $\inf\sup x_n=0$.
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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