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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 So 02.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | In meinen SKriptum steht:
log exp [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] log [mm] (1+1/n)^n [/mm] = log [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n) [/mm] |
Hallo,
Ich verstehe nicht wieso die beiden Therme gleich sind bzw. wieso man vertauschen darf.
Für das geamte Bsp im SKriptum siehe: http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf
Seite 101 ganz oben
Würde mich freuen, wenn mich da wer aufklärt.
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 So 02.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In meinen SKriptum steht:
> log exp [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] log [mm](1+1/n)^n[/mm] = log
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n)[/mm]
> Hallo,
> Ich verstehe nicht wieso die beiden Therme gleich sind
> bzw. wieso man vertauschen darf.
naja, da wurde folgendes gemacht (ich schreibe kurz [mm] $\lim_n:=\lim_{n \to \infty}$)
[/mm]
Aus [mm] $1=\lim_n \log(1+1/n)^n$ [/mm] folgt [mm] $e=\exp(1)=\exp(\lim_n \log (1+1/n)^n)\,.$ [/mm]
Weil die Exponentialfunktion (insbesondere an der Stelle [mm] $1\,$) [/mm] stetig ist,
folgt
[mm] $$e=\lim_n(\exp(\log(1+1/n)^n))\,.$$
[/mm]
(Es gibt einen Satz, der "grob gesagt" besagt:
Ist [mm] $f\,$ [/mm] (eine Funktion zw. metrischen Räumen) stetig an [mm] $x_0\,,$ [/mm] so gilt,
dass für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] auch [mm] $\lim_n f(x_n)=f(x_0)\;\;(=f(\lim_n x_n))$ [/mm] folgt. Die Umkehrung des
Satzes gilt auch. In irgendeiner Art sollte der in Eurem Skript auftauchen,
und wenn er nur für Funktionen $I [mm] \to \IR$ [/mm] mit Intervallen
$I [mm] \subseteq \IR$ [/mm] formuliert ist. Ich habe das Skript jetzt aber nicht danach
durchsucht!)
Wegen [mm] $\exp\circ \log=\text{id}_{(0,\infty)}$ [/mm] ist [mm] $(\exp \circ \log)(1+1/n)^n=(1+1/n)^n\,.$ [/mm] (Für jedes $n [mm] \in \IN\,.$)
[/mm]
Also
[mm] $$e=\lim_n(1+1/n)^n\,.$$
[/mm]
W.z.b.w. (Was zu beweisen war.)
P.S.
Strenggenommen steht in Deinem Skript, dass (bzw. warum das folgende) gilt
[mm] $$1=\lim \log(1+1/n)^n\,,$$
[/mm]
dann wird [mm] $\log \circ \exp=\text{id}_\IR$ [/mm] ausgenutzt:
[mm] $$1=\log (\exp(\lim_n\log(1+1/n)^n))\,.$$
[/mm]
Weil bereits die Existenz von [mm] $\lim_n\log(1+1/n)^n$ [/mm] erkannt wurde
(dieser Grenzwert ist ja [mm] $1\,,$ [/mm] wie man in der Zeile am Anfang sieht),
darfst Du nun
[mm] $$\red{(\*)}\;\;\;\exp(\lim_n\log(1+1/n)^n)=\lim_n \exp(\log(1+1/n)^n)$$
[/mm]
benutzen
[mm] $$1=\log (\exp(\lim_n\log(1+1/n)^n))\stackrel{\red{(\*)}}{=}\log (\lim_n \exp(\log(1+1/n)^n))=\log(\lim_n ((\exp \circ \log)(1+1/n)^n))\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $\exp \circ \log=\text{id}_{(0,\infty)}$ [/mm] folgt dann
[mm] $$1=\log (\lim_n(1+1/n)^n)\,.$$
[/mm]
Der Rest ist klar [mm] ($\exp\,$ [/mm] anwenden).
Geschickterweise (wobei das, zugegebenermaßen auch verwirren kann)
wurden diese Überlegungen halt in eine Zeile verpackt. Wie gesagt, ich
gebe zu, dass der Autor des Skriptes didaktisch vielleicht das ganze
besser in die obigen Überlegungen "aufgesplittet" hätte. Denn in der
Gleichungskette verwendet er ja Ergebnisse, die man am Anfang der
Gleichungskette sich überlegt hat. Das ist vermutlich auch der Punkt, der
Dich verwirrt hat.
P.P.S.
Sinnvoller ist es, wenn Du die Seite des Skriptes bzgl. der "internen
Seitenzählung" angibst. Also etwa "Siehe Skript Seite 94, interne Seitenzählung."
Denn ja nachdem, welchen Reader man benutzt, muss man sonst erstmal
rausfinden, wie die Differenz zwischen interner Seitenzählung und
Seitenangabe des Readers ist - bei mir ist z.B. keine Seitenangabe bzgl.
des Readers sichtbar.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 So 02.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Hei,
vielen dank.
Ich dachte das öffnet bei jedem im Pdf mit der Seitenzählung.
Werd ich nächste mal berücksichtigen.
Lg,
quasimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 So 02.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi quasimo,
> Hei,
> vielen dank.
gerne! 
> Ich dachte das öffnet bei jedem im Pdf mit der
> Seitenzählung.
> Werd ich nächste mal berücksichtigen.
Ist kein Problem - ich hab' da irgendso'n pdf-reader, der Firefoxintern
arbeitet. Kann auch sein, dass ich die Seitenzählung einfach übersehen
habe. Aber mit der internen bist Du eigentlich immer auf der sicheren Seite!
Gruß,
Marcel
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