Limes Beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei f:[a.b] -> [mm] \IR [/mm] stetig und F:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch
F(x):= [mm] \integral_{a}^{x}{f(y) dy}. [/mm] Beweisen Sie die Existenz des folgenden Limes [mm] \limes_{h>0}_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x)-F(x-h)}{h} [/mm] für [mm] x\in [/mm] (a,b) und berechnen Sie dessen Wert. |
Guten Abend,
habe bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten. Der Limes ist wohl gleich f(x). Aber wie Beweise ich das? Habe hier nicht mal einen Ansatz. Hoffe ihr könnt mir helfen.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Di 22.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Sei f:[a.b] -> [mm]\IR[/mm] stetig und F:[a,b] -> [mm]\IR[/mm] definiert
> durch
>
> F(x):= [mm]\integral_{a}^{x}{f(y) dy}.[/mm] Beweisen Sie die
> Existenz des folgenden Limes [mm]\limes_{h>0}_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x)-F(x-h)}{h}[/mm]
> für [mm]x\in[/mm] (a,b) und berechnen Sie dessen Wert.
> Guten Abend,
>
> habe bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten. Der Limes ist wohl
> gleich f(x). Aber wie Beweise ich das? Habe hier nicht mal
> einen Ansatz. Hoffe ihr könnt mir helfen.
Hallo,
es ist [mm] \bruch{F(x)-F(x-h)}{h}=\bruch{\integral_{a}^{x}{f(y) dy}-\integral_{a}^{x-h}{f(y) dy}}{h}=\bruch{\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}}{h}
[/mm]
Jetzt die übliche Geschichte mit Zwischenwertsatz....
Gruß Abakus
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke für deine Antwort. Die übliche Geschichte scheine ich noch nicht gehört zu haben. Der Zwischenwertsatz besagt ja das für a [mm] \le [/mm] b. Eine stetige Funktion f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Aber wie mir das hier weiterhilft sehe ich nicht.
LG Loriot95
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Moin Loriot,
> es ist $ [mm] \bruch{F(x)-F(x-h)}{h}=\bruch{\integral_{a}^{x}{f(y) dy}-\integral_{a}^{x-h}{f(y) dy}}{h}=\bruch{\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}}{h} [/mm] $
> Jetzt die übliche Geschichte mit Zwischenwertsatz....
> Danke für deine Antwort. Die übliche Geschichte scheine
> ich noch nicht gehört zu haben. Der Zwischenwertsatz
> besagt ja das für a [mm]\le[/mm] b. Eine stetige Funktion f:[a,b]
> -> [mm]\IR[/mm] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Aber wie
> mir das hier weiterhilft sehe ich nicht.
[mm] m_h [/mm] := [mm] \inf\{f(t)|x-h \leq t\leq x\}
[/mm]
[mm] M_h [/mm] := [mm] \sup\{f(t)|x-h \leq t\leq x\}
[/mm]
Damit ist
[mm] \qquad $m_h*h\leq\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}\leq M_h*h$, [/mm] wobei h=x-(x-h) das ist eine 'Rechtecksabschätzung'
Also (h>0):
[mm] \qquad $m_h\leq\frac{\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}}{h}\leq M_h$
[/mm]
Nun ist
[mm] \qquad $\lim_{h\to0}m_h=f(x) [/mm] = [mm] \lim_{h\to0}M_h$
[/mm]
Warum?
>
> LG Loriot95
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> [mm]m_h[/mm] := [mm]\inf\{f(t)|x-h \leq t\leq x\}[/mm]
> [mm]M_h[/mm] := [mm]\sup\{f(t)|x-h \leq t\leq x\}[/mm]
>
> Damit ist
> [mm]\qquad[/mm] [mm]m_h*h\leq\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}\leq M_h*h[/mm],
> wobei h=x-(x-h) das ist eine 'Rechtecksabschätzung'
> Also (h>0):
> [mm]\qquad[/mm] [mm]m_h\leq\frac{\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}}{h}\leq M_h[/mm]
>
> Nun ist
> [mm]\qquad[/mm] [mm]\lim_{h\to0}m_h=f(x) = \lim_{h\to0}M_h[/mm]
> Warum?
[mm] m_h [/mm] := [mm] \inf\{f(t)|x-h \leq t\leq x\} [/mm] . Wenn h nun 0 wird, so ist [mm] m_h [/mm] := [mm] \inf\{f(t)|x \leq t\leq x\} [/mm] und [mm] M_h [/mm] := [mm] \sup\{f(t)|x \leq t\leq x\}. [/mm] Auf diese Abschätzung wäre ich wohl nie gekommen... Musste mir das ganze erst einmal aufzeichnen. Aber den Zusammenhang zum Zwischenwertsatz, habe ich hier noch nicht wirklich geblickt. Ist der hier so zu sehen, dass jeder Wert zwischen [mm] \lim_{h\to0}m_h [/mm] und [mm] \lim_{h\to0}M_h [/mm] angenommen wird oder ist das einfach ein völlig anderer Lösungsweg?
> > LG Loriot95
> LG
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]m_h[/mm] := [mm]\inf\{f(t)|x-h \leq t\leq x\}[/mm]
> > [mm]M_h[/mm] :=
> [mm]\sup\{f(t)|x-h \leq t\leq x\}[/mm]
> >
> > Damit ist
> > [mm]\qquad[/mm] [mm]m_h*h\leq\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}\leq M_h*h[/mm],
> > wobei h=x-(x-h) das ist eine 'Rechtecksabschätzung'
> > Also (h>0):
> > [mm]\qquad[/mm] [mm]m_h\leq\frac{\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}}{h}\leq M_h[/mm]
>
> >
> > Nun ist
> > [mm]\qquad[/mm] [mm]\lim_{h\to0}m_h=f(x) = \lim_{h\to0}M_h[/mm]
> >
> Warum?
> [mm]m_h[/mm] := [mm]\inf\{f(t)|x-h \leq t\leq x\}[/mm] . Wenn h nun 0 wird,
> so ist [mm]m_h[/mm] := [mm]\inf\{f(t)|x \leq t\leq x\}[/mm] und [mm]M_h[/mm] :=
> [mm]\sup\{f(t)|x \leq t\leq x\}.[/mm] Auf diese Abschätzung wäre
> ich wohl nie gekommen... Musste mir das ganze erst einmal
> aufzeichnen. Aber den Zusammenhang zum Zwischenwertsatz,
> habe ich hier noch nicht wirklich geblickt.
Was dieser Satz hier zu suchen hat verstehe ich auch nicht.
Kamaleonti hat Dir gezeigt wie es geht
FRED
> Ist der hier so
> zu sehen, dass jeder Wert zwischen [mm]\lim_{h\to0}m_h[/mm] und
> [mm]\lim_{h\to0}M_h[/mm] angenommen wird oder ist das einfach ein
> völlig anderer Lösungsweg?
> > > LG Loriot95
> > LG
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ok. Danke. Vielleicht meldet sich ja Abakus noch Mal ;).
Vielen Dank für die Hilfe. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hm ok. Danke. Vielleicht meldet sich ja Abakus noch Mal
Ja, wie er das mit dem Zwischenwertsatz erledigen will, würde mich auch interessieren. Vielleicht meint er auch den Mittelwertsatz der Integraĺrechnung. Mit dem gehts ganz einfach:
Zu h existiert ein [mm] t_h \in [/mm] [x-h,h] mit:
$ [mm] \bruch{F(x)-F(x-h)}{h}=\bruch{\integral_{a}^{x}{f(y) dy}-\integral_{a}^{x-h}{f(y) dy}}{h}=\bruch{\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}}{h} [/mm] = [mm] \bruch{f(t_h)(x-(x-h))}{h}=f(t_h) [/mm] $
Mit h [mm] \to [/mm] 0 geht [mm] t_h \to [/mm] x, und weil f stetig ist folgt:
[mm] $\bruch{F(x)-F(x-h)}{h} \to [/mm] f(x)$ für h [mm] \to [/mm] 0.
FRED
> ;).
>
> Vielen Dank für die Hilfe. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mi 23.03.2011 | | Autor: | abakus |
> > Hm ok. Danke. Vielleicht meldet sich ja Abakus noch Mal
>
> Ja, wie er das mit dem Zwischenwertsatz erledigen will,
> würde mich auch interessieren. Vielleicht meint er auch
> den Mittelwertsatz der Integraĺrechnung. Mit dem gehts
> ganz einfach:
So ist es. Das war ein dummer Versprecher von mir.
Gruß Abakus
>
> Zu h existiert ein [mm]t_h \in[/mm] [x-h,h] mit:
>
> [mm]\bruch{F(x)-F(x-h)}{h}=\bruch{\integral_{a}^{x}{f(y) dy}-\integral_{a}^{x-h}{f(y) dy}}{h}=\bruch{\integral_{x-h}^{x}{f(y) dy}}{h} = \bruch{f(t_h)(x-(x-h))}{h}=f(t_h)[/mm]
>
> Mit h [mm]\to[/mm] 0 geht [mm]t_h \to[/mm] x, und weil f stetig ist folgt:
>
> [mm]\bruch{F(x)-F(x-h)}{h} \to f(x)[/mm] für h [mm]\to[/mm] 0.
>
> FRED
> > ;).
> >
> > Vielen Dank für die Hilfe. :)
>
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