Limes Abschätzungen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle!
Innerhalb eines Beweises muss ich eine Abschätzung machen, bei der ich mir unsicher bin.
Ich habe folgendes
Voraussetzung: [mm] $\limsup\frac{1}{n}logX_n [/mm] < [mm] \infty.$
[/mm]
[mm] \[\limsup\frac{1}{n}logX_n=\limsup\frac{1}{n}e^{logX_n} \geq \limsup\frac{1}{m^n}\cdot e^{logX_n},\]
[/mm]
wobei $m>1$ ist.
Jetzt kommen meine zwei Fragen:
1) Aufgrund der Voraussetzung ist der letzte Ausdruck ebenfalls kleiner als [mm] $\infty$. [/mm] Kann ich daraus folgern, dass der 'normale' limes (nicht superior) kleiner als [mm] $\infty$ [/mm] ist? (Ich denke ja, möchte mich aber sicherheitshalber vergewissern.)
2) Kann ich daraus wiederum folgendes folgern:
[mm] \[\lim\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{m^n}\cdot e^{logX_k}?\]
[/mm]
Ich bin euch dankbar für alle Tipps!
Liebe Grüße,
GirlyMaths
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Fr 25.09.2015 | | Autor: | GirlyMaths |
Bei der zweiten Frage fehlt natürlich die Abschätzung; der limes der Summe soll auch kleiner als [mm] $\infty$ [/mm] sein, was aus obigen Abschätzungen folgen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Fr 25.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo GirlyMaths!
> Innerhalb eines Beweises muss ich eine Abschätzung machen,
> bei der ich mir unsicher bin.
> Ich habe folgendes
> Voraussetzung: [mm]\limsup\frac{1}{n}logX_n < \infty.[/mm]
Was sind die [mm] $X_n$? [/mm] Reelle Zahlen?
Die Verwendung dieser Bezeichnung lässt mich vermuten, dass die [mm] $X_n$ [/mm] Zufallsgrößen sein sollen? Falls ich damit richtig liege: Ist [mm] $\limsup\frac{1}{n}logX_n [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] P-fast-sicher gemeint?
> [mm]\[\limsup\frac{1}{n}logX_n=\limsup\frac{1}{n}e^{logX_n} \geq \limsup\frac{1}{m^n}\cdot e^{logX_n},\][/mm]
>
> wobei [mm]m>1[/mm] ist.
[mm] $e^{\log X_n}$ [/mm] ist eine komplizierte Schreibweise für [mm] $X_n$.
[/mm]
Warum soll links das Gleichheitszeichen gelten?
Das [mm] $\geq$ [/mm] stimmt.
> Jetzt kommen meine zwei Fragen:
>
> 1) Aufgrund der Voraussetzung ist der letzte Ausdruck
> ebenfalls kleiner als [mm]\infty[/mm].
Folgerichtig.
> Kann ich daraus folgern, dass
> der 'normale' limes (nicht superior) kleiner als [mm]\infty[/mm]
> ist? (Ich denke ja, möchte mich aber sicherheitshalber
> vergewissern.)
Wer sagt, dass dieser Limes existiert?
Eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn
[mm] $\liminf_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}\in\IR$
[/mm]
gilt. In diesem Fall gilt
[mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=\liminf_{n\to\infty}a_n=\limsup_{n\to\infty}$.
[/mm]
> 2) Kann ich daraus wiederum folgendes folgern:
> [mm]\[\lim\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{m^n}\cdot e^{logX_k}?\][/mm]
Du nimmst also
[mm] $\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{m^n} X_n<\infty$
[/mm]
an und möchtest
[mm] $\limsup_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{m^n}X_k$
[/mm]
folgern?
Oder meinst du
[mm] $\limsup_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{m^\blue{k}}X_k$ [/mm] ?
Ich gehe davon aus, dass beide Folgerungen im Allgemeinen falsch sind, habe mir aber kein exaktes Gegenbeispiel überlegt.
Beachte jedoch, dass z.B. für [mm] $a_n:=1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm] $\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_n=1<\infty$,
[/mm]
jedoch
[mm] $\limsup_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k=\limsup_{n\to\infty}n=\infty$
[/mm]
gilt.
Vielleicht verrätst du uns besser, was du eigentlich beweisen möchtest.
Viele Grüße
Tobias
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Hey,
alles klar, ich schreibe es nochmal anders auf:
Also zunächst sind die [mm] $X_n$ [/mm] Zufallsvariablen. Wir haben einen Verzweigungsprozess gegeben, $n$ gibt die Generation an, in der wir uns befinden.
Gegeben ist
[mm] \[\sum_{k=1}{n}\frac{Y_k}{m^k}~\textrm{und}~\mathbb{E}[log^+X]<\infty.\]
[/mm]
Aus letztem Ausdruck folgt mit einem Lemma, dass
[mm] \[\limsup\frac{1}{n}log^+X_n
Nun habe ich in einem Beweis aufgrund dieser uns gegebenen Voraussetzung die folgende Abschätzung gefunden:
[mm] \[\sum_{k\geq1}\frac{X_k}{m^k}\leq\sum_{k\geq1}\frac{1}{m^k}\cdot e^{log^+X_k}<\infty.\]
[/mm]
Und jetzt würde ich gerne nachvollziehen können, weshalb das so ist?!
Danke für alle Tipps!
Liebe Grüße,
GirlyMaths
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 So 27.09.2015 | | Autor: | GirlyMaths |
In der ersten Summe ist ein $n$ zu viel, dort steht nur
[mm] \[\sum_{k=1}^{n}\frac{X_k}{m^k}.\]
[/mm]
Für diese Summe sollt durch die Abschätzung gezeigt werden, dass sie fast sicher konvergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 So 27.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Also zunächst sind die [mm]X_n[/mm] Zufallsvariablen. Wir haben
> einen Verzweigungsprozess gegeben, [mm]n[/mm] gibt die Generation
> an, in der wir uns befinden.
Leider habe ich keine Ahnung von Verzweigungsprozessen.
Vielleicht findet sich noch jemand anderes, der dir weiterhelfen kann.
> Gegeben ist
>
> [mm]\[\sum_{k=1}{n}\frac{Y_k}{m^k}~\textrm{und}~\mathbb{E}[log^+X]<\infty.\][/mm]
Du meinst
[mm]\[\sum_{k=1}^{n}\frac{Y_k}{m^k}<\infty~\textrm{und}~\mathbb{E}[log^+X]<\infty.\][/mm]?
Ersteres soll punktweise oder P-f.s. gelten?
Wie hängen die [mm] $Y_k$ [/mm] und $X$ mit den [mm] $X_n$ [/mm] zusammen?
Möglicherweise sind diese Fragen jedoch irrelevant.
> Aus letztem Ausdruck folgt mit einem Lemma, dass
> [mm]\[\limsup\frac{1}{n}log^+X_n
Die Bedingung lautet wirklich so und nicht [mm] $\limsup\frac{1}{n}\log^+X_n\le [/mm] c$ (punktweise oder P-f.s.) für ein [mm] $c\in\IR$?
[/mm]
> Nun habe ich in einem Beweis aufgrund dieser uns gegebenen
> Voraussetzung die folgende Abschätzung gefunden:
>
> [mm]\[\sum_{k\geq1}\frac{X_k}{m^k}\leq\sum_{k\geq1}\frac{1}{m^k}\cdot e^{log^+X_k}<\infty.\][/mm]
Ist die Behauptung, dass dies für alle $m>1$ gilt, oder dass ein (genügend großes) $m>1$ existiert, für das die Abschätzung zutrifft?
> Und jetzt würde ich gerne nachvollziehen können, weshalb
> das so ist?!
Die Ungleichung [mm] $\sum_{k\geq1}\frac{X_k}{m^k}\leq\sum_{k\geq1}\frac{1}{m^k}\cdot e^{log^+X_k}$ [/mm] (P-f.s.) folgt (im Falle [mm] $X_k>0$ [/mm] (P-f.s.)) aus
[mm] $X_k=e^{\log X_k}\le e^{\log^+ X_k}$,
[/mm]
wobei letztere Ungleichung aus [mm] $\log a\le\log^+ [/mm] a$ für alle $a>0$ folgt.
Die Ungleichung [mm] $\sum_{k\geq1}\frac{1}{m^k}\cdot e^{log^+X_k}<\infty$ [/mm] kriege ich nur im Falle [mm] $\limsup\frac{1}{n}\log^+X_n\le [/mm] c$ für ein [mm] $c\in\IR$ [/mm] und nur für ein selbst gewähltes [mm] $m\in\IR$ [/mm] gezeigt.
Genügt das schon für deine Zwecke?
Dann kann ich den Beweis gerne posten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 So 27.09.2015 | | Autor: | GirlyMaths |
Hey,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Zu deinen Fragen:
Ich habe mich vertippt, statt [mm] $Y_k$ [/mm] soll dort [mm] $X_k$ [/mm] stehen, also alle Y sollen durch ein X ersetzt werden.
Das besagte Lemma gibt tatsächlich die Ungleichung mit [mm] $\infty$ [/mm] auf der rechten Seite vor. Dabei sind [mm] $X,X_1,X_2,...$ [/mm] nichtnegative, unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen.
Für m haben wir als Vorgabe, dass es größer 1 ist, das hängt mit dem Verzweigungsprozess zusammen, den wir gegeben haben (es kann auch kleiner oder gleich 1 sein, hier aber wie gesagt ist es größer 1).
Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du deinen Beweis trotzdem posten könntest, vielleicht kommen wir ja gemeinsam auf die Lösung unter den obigen Voraussetzungen.
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 27.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Nach deiner Mitteilung gehe ich nun davon aus, dass wir eine Folge [mm] $X,X_1,X_2,X_3,\ldots$ [/mm] nichtnegativer iid-Zufallsgrößen mit reellen Werten haben.
(Die "iid-Information", die ich bisher nicht hatte, ist der Schlüssel zum ausstehenden Beweis!)
Wir wissen nicht, ob die [mm] $X_n$ [/mm] integrierbar sind, aber immerhin sind die Zufallsgrößen
[mm] $Y_n:=\log^+ X_n$ ($n\in\IN$)
[/mm]
integrierbar.
(Auch [mm] $Y_1,Y_2,Y_3,\ldots$ [/mm] bildet eine iid-Folge von nichtnegativen Zufallsgrößen.)
> Aus letztem Ausdruck folgt mit einem Lemma, dass
> [mm]\[\limsup\frac{1}{n}log^+X_n
Das ist aber ein schwaches Lemma!
Tatsächlich gilt nicht nur [mm] $\limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}Y_n<\infty$ [/mm] P-f.s., sondern sogar
(*) [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}Y_n=0$ [/mm] P-f.s.
Beweis:
Sei
[mm] $S_n:=\sum_{i=1}^nY_i$
[/mm]
für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Man rechnet
[mm] $\frac{1}{n}Y_n=(\frac{1}{n}S_n)-(\frac{1}{n-1}S_{n-1})+\frac{1}{n}(\frac{1}{n-1}S_{n-1})$
[/mm]
nach.
Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gilt (wegen der Integrierbarkeit von [mm] $Y_1$ [/mm] und der iid-Eigenschaft der Folge [mm] $Y_1,Y_2,Y_3,\ldots$) [/mm] mit
[mm] $\mu:=EY_1$
[/mm]
die Bedingung
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}S_n=\mu$ [/mm] P-f.s.
und damit auch
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n-1}S_{n-1}=\mu$ [/mm] P-f.s.
Natürlich gilt auch
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$ [/mm] (P-f.s.).
Zusammengenommen erhalten wir damit
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}Y_n=\mu-\mu+0*\mu=0$.
[/mm]
> Nun habe ich in einem Beweis aufgrund dieser uns gegebenen
> Voraussetzung die folgende Abschätzung gefunden:
>
> [mm]\[\sum_{k\geq1}\frac{X_k}{m^k}\leq\sum_{k\geq1}\frac{1}{m^k}\cdot e^{log^+X_k}<\infty.\][/mm]
>
> Und jetzt würde ich gerne nachvollziehen können, weshalb
> das so ist?!
Es bleibt
[mm] $\sum_{k\geq1}\frac{1}{m^k}e^{Y_k}<\infty$ [/mm] P-f.s.
zu zeigen.
Für alle [mm] $k\geq [/mm] 1$ gilt
[mm] $e^{Y_k}=e^{k*\frac{1}{k}Y_k}=(e^{\frac{1}{k}Y_k})^k$
[/mm]
und damit
[mm] $\frac{1}{m^k}e^{Y_k}=\left(\frac{e^{\frac{1}{k}Y_k}}{m}\right)^k=(Z_k)^k$
[/mm]
mit
[mm] $Z_k:=\frac{e^{\frac{1}{k}Y_k}}{m}$.
[/mm]
Aus (*) folgt
[mm] $\lim_{k\to\infty}Z_k=\frac{e^0}{m}<1$ [/mm] P-f.s.
Nun folgt die zu zeigende Aussage
[mm] $\sum_{k\geq1}(Z_k)^k<\infty$ [/mm] P-f.s.
aus folgendem Lemma:
Sei [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] eine konvergente Folge nichtnegativer reeller Zahlen, deren Limes <1 ist.
Dann gilt
[mm] $\sum_{k=1}^\infty (a_k)^k<\infty$.
[/mm]
Beweis des Lemmas:
Wegen [mm] $\lim_{k\to\infty}a_k<1$ [/mm] existiert ein [mm] $k_0\in\IN$ [/mm] und ein [mm] $q\in(0,1)$ [/mm] und [mm] $a_k\le [/mm] q$ für alle [mm] $k\ge k_0$.
[/mm]
Wegen [mm] $q\in(0,1)$ [/mm] konvergiert die geometrische Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] und damit auch die Reihe [mm] $\sum_{k\geq k_0}q^k$.
[/mm]
Nach dem Majorantenkriterium konvergiert [mm] $\sum_{k\geq k_0}(a_k)^k$ [/mm] und damit auch [mm] $\sum_{k\ge 1}(a_k)^k$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:27 Mo 28.09.2015 | | Autor: | GirlyMaths |
Vielen, vielen Dank!!
Das hilft mir enorm weiter, ich kann jeden deiner Schritte nachvollziehen und bin ganz happy :)
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