Limes 2x für x gegen x0 < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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einen wunderschönen guten Tag, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
y=2x
gesucht: limes für x gegen x0
mein Ansatz: h-Methode
lim f(x) = 2 * (0+h)
sowie f(x) = 2 * (0-h)
dann bekäme ich als erstes Ergebnis 2*h
und als zweites 2*-h
ist das bis dahin richtig? :(
wir hatten bis jetzt immer relativ nachvollziehbare Aufgaben, diese macht mir jedoch Probleme.
vielen Dank schon mal.
Gruß
Wissensbegierde
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Hallo,
> einen wunderschönen guten Tag, ich habe ein Problem mit
> folgender Aufgabe:
>
> y=2x
>
> gesucht: limes für x gegen x0
Ist da kein festes [mm] x_0 [/mm] vorgegeben? Ich vermute: nein, frage aber zur Sicherheit hier nach.
>
> mein Ansatz: h-Methode
>
> lim f(x) = 2 * (0+h)
>
> sowie f(x) = 2 * (0-h)
Das hat mit der h-Methode nichts, aber auch gar nichts zu tun! Hast du denn, bevor du angefangen hast zu rechnen den Sinn und Zweck der h-Methode, also die betreffende Schreibweise, um aus einem Differenzenquotienten als Grenzwert für h->0 den Differentialquotienten zu erhalten, nachgelesen? Ich denke nicht, denn sonst würde deine Rechnung anders aussehen. Du solltest das im eigenen Interesse nachholen, denn das ist hier schon ein bisserl was anderes als Dreisatz und Co. 
> dann bekäme ich als erstes Ergebnis 2*h
> und als zweites 2*-h
>
> ist das bis dahin richtig? :(
Nein, wie schon gesagt, es ist völlig falsch und am Ziel der Aufgabe total vorbei.
>
> wir hatten bis jetzt immer relativ nachvollziehbare
> Aufgaben, diese macht mir jedoch Probleme.
Also viel einfacher geht das hier aber nicht mehr. Was genau sind denn so deine Probleme, was darf man sich darunter vorstellen? Das sollte man schon präzisieren, wenn man zielführende Hilfe haben möchte.
Der Differentialquotient in der h-Schreibweise ist definiert als
[mm] f'(x_0)= \lim_{h\rightarrow{0}}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
Es sollte klar sein, dass das Resultat geometrisch interpretiert eine Steigung ist. Das bedeutet aber hier, dass man das Ergebnis bereits kennen sollte, denn dein Funktion ist eine Ursprungsgerade.
Jetzt versuche bitte anhand deiner Unterlagen, meine Antwort zu verstehen und versuche dich nochmals dran. Wenn ich die Aufgabenstellung richtig deute, soll am Beispiel der Funktion f(x)=2x nachgewiesen werden, dass die Ableitung für solche Funktionen konstant ist.
Gruß, Diophant
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Entschuldigung, es ist ein x0 vorgegeben.
und dieses wäre 0
x0 -> 0
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Mo 06.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo wissensbegierde!
> Entschuldigung, es ist ein x0 vorgegeben.
>
> und dieses wäre 0
>
> x0 -> 0
Ich bin nicht sicher, wie die Aufgabe eigentlich lauten soll.
Vielleicht ist [mm] $\lim_{x\to 0}2x$ [/mm] zu bestimmen?
Oder die Steigung/Ableitung $f'(0)$ an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] der Funktion $f$ gegeben durch $f(x)=2x$?
Wie lautet die Aufgabenstellung im Zusammenhang? Bitte poste sie wörtlich.
Viele Grüße
Tobias
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genau, wir sollen den Grenzwert für:
$ [mm] \lim_{x\to 0}2x [/mm] $ bestimmen.
mehr steht auch nicht dabei.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mo 06.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> genau, wir sollen den Grenzwert für:
> [mm]\lim_{x\to 0}2x[/mm] bestimmen.
Das ist zwar immer noch nicht die wörtliche Aufgabenstellung, aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass [mm] $\lim_{x\to 0}2x$ [/mm] zu bestimmen ist.
Es geht also um die Frage, gegen welchen Wert sich $2x$ annähert, wenn man für x Werte einsetzt, die immer näher an die Zahl 0 heranreichen.
Setzen wir in 2x mal ein paar Werte ein, die immer näher an 0 liegen:
Für $x=0,1$ erhalten wir $2x=0,2$.
Für $x=0,01$ erhalten wir $2x=0,02$.
Für $x=0,001$ erhalten wir $2x=0,002$.
Für $x=0,0001$ erhalten wir $2x=0,0002$.
...
Wir scheinen also für $2x$ Werte zu erhalten, die ebenfalls immer näher an 0 heranreichen.
Testen wir es mal mit x-Werten, die sich auf dem Zahlenstrahl von links an 0 annähern:
Für $x=-0,1$ erhalten wir $2x=-0,2$.
Für $x=-0,01$ erhalten wir $2x=-0,02$.
Für $x=-0,001$ erhalten wir $2x=-0,002$.
Für $x=-0,0001$ erhalten wir $2x=-0,0002$.
...
Erneut nähern sich die Werte für 2x immer mehr der 0 an.
Unsere Überlegungen lassen [mm] $\lim_{x\to0}2x=0$ [/mm] vermuten.
Tatsächlich gilt
[mm] $\lim_{x\to 0}2x=(\lim_{x\to 0}2)*(\lim_{x\to 0}x)=2*0=0$.
[/mm]
Noch eine Bemerkung zu eurer h-Methode:
Anscheinend habt ihr gelernt, dass für Funktionen $f$ (im Falle der Existenz der Grenzwerte)
[mm] $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{h\to 0}f(x_0+h)$
[/mm]
und
[mm] $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{h\to0}f(x_0-h)$
[/mm]
gelten.
Bei der vorliegenden Aufgabe erhalten wir so
[mm] $\lim_{x\to 0}2x=\lim_{h\to 0}2*(0+h)=\lim_{h\to 0}2*h=(\lim_{h\to 0}2)*(\lim_{h\to0}h)=2*0=0$
[/mm]
bzw.
[mm] $\lim_{x\to 0}2x=\lim_{h\to 0}2*(0-h)=\lim_{h\to 0}-2*h=(\lim_{h\to 0}-2)*(\lim_{h\to0}h)=-2*0=0$.
[/mm]
Die h-Methode liefert also hier keinen Vorteil gegenüber der direkten Bestimmung des Grenzwertes.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Tobias,
> Noch eine Bemerkung zu eurer h-Methode:
>
> Anscheinend habt ihr gelernt, dass für Funktionen [mm]f[/mm] (im
> Falle der Existenz der Grenzwerte)
>
> [mm]\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{h\to 0}f(x_0+h)[/mm]
>
> und
>
> [mm]\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{h\to0}f(x_0-h)[/mm]
>
> gelten.
>
> Bei der vorliegenden Aufgabe erhalten wir so
>
> [mm]\lim_{x\to 0}2x=\lim_{h\to 0}2*(0+h)=\lim_{h\to 0}2*h=(\lim_{h\to 0}2)*(\lim_{h\to0}h)=2*0=0[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\lim_{x\to 0}2x=\lim_{h\to 0}2*(0-h)=\lim_{h\to 0}-2*h=(\lim_{h\to 0}-2)*(\lim_{h\to0}h)=-2*0=0[/mm].
>
> Die h-Methode liefert also hier keinen Vorteil gegenüber
> der direkten Bestimmung des Grenzwertes.
Es ist mir völlig neu (im Sinne von: ich habe es noch nie gehört), diese Schreibweise für links- und rechtsseitige Grenzwerte als h-Methode zu benennen. Ist das andernorts denn so üblich?
Beste Grüße, Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mo 06.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Diophant,
> Es ist mir völlig neu (im Sinne von: ich habe es noch nie
> gehört), diese Schreibweise für links- und rechtsseitige
> Grenzwerte als h-Methode zu benennen. Ist das andernorts
> denn so üblich?
Das weiß ich nicht wirklich. Ich vermute anhand der Ausgangsfrage von wissensbegierde, dass es sein(e) Lehrer(in) so handhabt. Das wäre dann eine naheliegende Verallgemeinerung der h-Methode für die Ableitung.
(Randbemerkung: Übrigens finde ich es unnötig, bei "irgendeiner h-Methode" zwischen links- und rechtsseitigen Grenzwerten zu unterscheiden, aber das ist ein anderes Thema...)
Viele Grüße
Tobias
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an der Tafel in der Schule stand folgendes:
Neues Thema: Grenzwert x -> xo [mm] \pm [/mm] 0
Annäherung an eine endliche Stelle x0 von rechts (+0)
und von links (-0)
Für die Berechnung nutzt man ein sehr kleines, aber immer positives h.
x = 1+h mit h -> 0; gilt 1 + 0; Annäherung von rechts.
x = 1-h mit h -> 0; gilt 1 - 0; Annäherung von rechts.
Bsp.: f(x) = [mm] \bruch{x^{2} - 1}{x - 1} [/mm] ; x = 1+h; x= 1-h
und dann einsetzen, berechnen..
vielen Dank jedenfalls für die "Lösung" und die Tipps.:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo wissensbegierde,
danke für deine Erläuterung: in diesem Fall habe ich dein Anliegen falsch verstanden. Sorry dafür!
Jetzt würde mich aber noch folgendes interessieren: stand für diese Methode der Begriff 'h-Methode' an der Tafel/im Schulbuch oder hast du dir das selbst ausgedacht? Im letzteren Fall würde ich dir raten, den Begriff in diesem Zusammenhang nicht zu verwenden, da er in der Schulmathematik i.a. für etwas anderes verwendet wird.*
Gruß, Diophant
*Für die Leibnizsche Version der Ableitung nämlich, was traurigerweise damit einhergeht, die genialen Schreibweisen von Leibniz in der Infinitesimalrechnung platt zu machen...
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kein Problem, ich hab mich ja auch etwas schwammig ausgedrückt.
Meine Mitschüler haben diese Methode "h-Methode" genannt, und auch der Lehrer hat bis jetzt nichts anderes gesagt, also nahm ich an dass es so heißt.
Habe mich bereits informiert, was genau denn die h-Methode ist und ich denke das wird auch sehr bald ein Thema bei uns sein.
Wir haben vor kurzem erst (Anfang 12. Klasse Fachoberschule) mit Grenzwerten begonnen.
Wahrscheinlich war das auch nicht das letzte mal dass ich mich dieses Jahr melde.
nach meinem Hauptschulabschluss vor 5 Jahren habe ich mit Mathe, bzw. Schule generell nichts mehr am Hut gehabt.
Da fehlen derzeit auch noch einige Grundlagen, auch wenn es in der 11. Klasse für 10 Punkte gereicht hat.
Vielen Danke jedenfalls :)
Diese Community ist echt eine tolle Sache für Schüler, Studenten und scheinbar auch Lehrer.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Di 07.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> > genau, wir sollen den Grenzwert für:
> > [mm]\lim_{x\to 0}2x[/mm] bestimmen.
> Das ist zwar immer noch nicht die wörtliche
> Aufgabenstellung, aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass
> [mm]\lim_{x\to 0}2x[/mm] zu bestimmen ist.
>
> Es geht also um die Frage, gegen welchen Wert sich [mm]2x[/mm]
> annähert, wenn man für x Werte einsetzt, die immer näher
> an die Zahl 0 heranreichen.
>
>
> Setzen wir in 2x mal ein paar Werte ein, die immer näher
> an 0 liegen:
>
> Für [mm]x=0,1[/mm] erhalten wir [mm]2x=0,2[/mm].
> Für [mm]x=0,01[/mm] erhalten wir [mm]2x=0,02[/mm].
> Für [mm]x=0,001[/mm] erhalten wir [mm]2x=0,002[/mm].
> Für [mm]x=0,0001[/mm] erhalten wir [mm]2x=0,0002[/mm].
> ...
> Wir scheinen also für [mm]2x[/mm] Werte zu erhalten, die ebenfalls
> immer näher an 0 heranreichen.
>
>
> Testen wir es mal mit x-Werten, die sich auf dem
> Zahlenstrahl von links an 0 annähern:
>
> Für [mm]x=-0,1[/mm] erhalten wir [mm]2x=-0,2[/mm].
> Für [mm]x=-0,01[/mm] erhalten wir [mm]2x=-0,02[/mm].
> Für [mm]x=-0,001[/mm] erhalten wir [mm]2x=-0,002[/mm].
> Für [mm]x=-0,0001[/mm] erhalten wir [mm]2x=-0,0002[/mm].
> ...
> Erneut nähern sich die Werte für 2x immer mehr der 0
> an.
>
>
> Unsere Überlegungen lassen [mm]\lim_{x\to0}2x=0[/mm] vermuten.
>
>
> Tatsächlich gilt
>
> [mm]\lim_{x\to 0}2x=(\lim_{x\to 0}2)*(\lim_{x\to 0}x)=...[/mm].
das ist korrekt (und habe ich sicher auch schonmal so geschrieben), aber
ich finde dennoch *eigentlich* die Regel
[mm] $\lim_{x \to 0}(2*x)=2*\lim_{x \to 0}x$
[/mm]
"schöner". Wobei man sie ja auch als unmittelbare Konsequenz Deiner
Rechenregel erhält.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Di 07.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Entschuldigung, es ist ein x0 vorgegeben.
Das spielt eigentlich keine Rolle, denn wir können hier [mm] x_0\in\IR
[/mm]
beliebig, aber fest, betrachten und erhalten
[mm] \lim_{x\to x_0}2*x=2*x_0.
[/mm]
Wenn nun [mm] $x\to [/mm] 0$, dann erhalten wir [mm] $2*0=0\$.
[/mm]
Wenn nun [mm] $x\to [/mm] 1$, dann erhalten wir [mm] $2*1=2\$.
[/mm]
...
Das kannst du dir auch mit ein paar Werten, so wie es dir Tobias
gezeigt hat, verinnerlichen.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Di 07.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> einen wunderschönen guten Tag, ich habe ein Problem mit
> folgender Aufgabe:
>
> y=2x
>
> gesucht: limes für x gegen x0
gesucht war ja
[mm] $\lim_{x \to x_0}(2x)\,.$
[/mm]
Mal eine Frage an Dich: Habt ihr IRGENDEINE Definition von
[mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$?
[/mm]
Denn eigentlich sind solche Aufgaben ansonsten mehr als etwas schwer
zugänglich (das darfst Du Deinem Lehrer/Deiner Lehrerin gerne mitteilen).
Natürlich kann man *anschaulich motivieren*, um was es geht, aber das
ersetzt keine(!) Definition! Es motiviert höchstens eine mögliche Definition!
Auch das ist etwas, was Du gerne weitergeben darfst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:31 Di 07.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel!
> Mal eine Frage an Dich: Habt ihr IRGENDEINE Definition von
>
> [mm]\lim_{x \to x_0}f(x)[/mm]?
>
> Denn eigentlich sind solche Aufgaben ansonsten mehr als
> etwas schwer
> zugänglich (das darfst Du Deinem Lehrer/Deiner Lehrerin
> gerne mitteilen).
>
> Natürlich kann man *anschaulich motivieren*, um was es
> geht, aber das
> ersetzt keine(!) Definition! Es motiviert höchstens eine
> mögliche Definition!
> Auch das ist etwas, was Du gerne weitergeben darfst.
Das ist die universitäre Sicht der Dinge. In der Schule wird jedoch wohl kaum ein Lehrer Grenzwerte präzise definieren, da dies den Großteil der Schüler völlig überfordern würde. Die Vorgehensweise, mit anschaulichen statt präzise definierten Begriffen zu arbeiten, findet man zum Beispiel auch bei der Bruchrechnung oder bei der Geometrie. (Und selbst an der Uni wird in Anfängervorlesungen der Begriff der Menge nur anschaulich und nicht axiomatisch eingeführt.)
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Di 07.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo Marcel!
>
>
> > Mal eine Frage an Dich: Habt ihr IRGENDEINE Definition von
> >
> > [mm]\lim_{x \to x_0}f(x)[/mm]?
> >
> > Denn eigentlich sind solche Aufgaben ansonsten mehr als
> > etwas schwer
> > zugänglich (das darfst Du Deinem Lehrer/Deiner Lehrerin
> > gerne mitteilen).
> >
> > Natürlich kann man *anschaulich motivieren*, um was es
> > geht, aber das
> > ersetzt keine(!) Definition! Es motiviert höchstens
> eine
> > mögliche Definition!
> > Auch das ist etwas, was Du gerne weitergeben darfst.
> Das ist die universitäre Sicht der Dinge. In der Schule
> wird jedoch wohl kaum ein Lehrer Grenzwerte präzise
> definieren, da dies den Großteil der Schüler völlig
> überfordern würde. Die Vorgehensweise, mit anschaulichen
> statt präzise definierten Begriffen zu arbeiten, findet
> man zum Beispiel auch bei der Bruchrechnung oder bei der
> Geometrie. (Und selbst an der Uni wird in
> Anfängervorlesungen der Begriff der Menge nur anschaulich
> und nicht axiomatisch eingeführt.)
dann war mein Mathelehrer, der die Gutmütigkeit in Person war, und auch
alles zum siebenten Mal erklärte (auch, wenn er genervt war - aber erst
nach dem 5. Mal ^^), dahingehend anscheinend durchaus universitär
eingestellt.
Wir haben jedenfalls durchaus Grenzwerte "mit Folgen motiviert" (was
etwas künstlich ist) und dann die [mm] $\varepsilon-\delta$-Definition [/mm] hingeschrieben.
Natürlich haben wir damit nicht so strikt gearbeitet wie an der Uni, aber
damit haben wir durchaus Sätze wie [mm] $\lim_{x \to x_0}(f(x)*g(x))=(\lim_{x \to x_0}f(x))*(\lim_{x \to x_0}g(x))$
[/mm]
bewiesen - erst danach durften wir sie anwenden (das dann aber *immer*,
so nach dem Motto: Voraussetzungen sollte man zwar grob überfliegen,
aber wir sind in der Schule - die haben wir immer so, wie wir sie brauchen).
Okay, dazugesagt: Leistungskurs. 
Dass es im Grundkurs vielleicht anders ist, will ich gar nicht abstreiten.
Aber eigentlich kann man da dann nur versuchen, den Schülern "ein
Gefühl zu vermitteln, welche Gesetze sie benutzen dürfen".
Das ist meines Erachtens nach nicht nur höchst unbefriedigend, ich frage
mich tatsächlich auch, wie man damit "Leistungsbewertungen" durchführen
will. Aber ich bin kein Lehrer, das ist also auch nicht mein Problem.
Gruß,
Marcel
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