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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 So 30.11.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Man untersuche, ob die folgenden Limites existieren und ermittele gegebenenfalls ihre [mm] Werte\\
[/mm]
[mm] (a) $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^n-1}{x^m-1} [/mm] , mit [mm] \;m,n \in \IN, [/mm] m [mm] \geq1, [/mm] n [mm] \geq1$\\\\
[/mm]
[mm] (b) $\lim_{z\rightarrow 1} \frac{1}{z-1}(\frac{ 3}{z^2+5}-\frac{ 1}{z^2+1})$\\\\
[/mm]
[mm] (c) $\lim_{x\rightarrow 0, x>0} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x}}$
[/mm]
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Hallo,
mit Aufgabe a) habe ich mich erst schwer getan, bin dann aber auf den Ansatz
[mm] $a^n [/mm] - [mm] b^n [/mm] = (a-b) [mm] \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}$
[/mm]
gestoßen. Damit ergibt sich hier
[mm] $\frac{x^n-1^n}{x^m-1^n} ={\frac{x-1}{x-1}} {\frac{\sum^{n-1}_{k=0}x^k 1^{n-1-k}}{\sum^{m-1}_{l=0}x^l b^{m-1-l}}} [/mm] $
Und
[mm] $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^n-1}{x^m-1} [/mm] = [mm] \frac{\sum^{n-1}_{k=0}1}{\sum^{m-1}_{l=0}1} [/mm] = [mm] \frac{n-1}{m-1}$
[/mm]
Kann ich das so machen?
Aufgabenteil b) fand ich recht einfach, ich habe die Brüche auf einen Nenner gebracht, konnte dann $(x-1)$ herauskürzen und den Grenzwert ausrechnen.
Leider schaffe ich es bei c) aber nicht, durch Erweitern mithilfe der 3. Binomischen Formel o.ä. den Ausdruck so weit umzuformen, dass ich 0 einsetzen kann. Ich erhalte z.B. [mm] $\frac{\sqrt{x+1}+1}{x}$.
[/mm]
Vielleicht kann mir jemand von euch einen Tipp geben.
Vielen Dank,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Palonina!
Dein Weg ist sehr gut und elegant. Allerdings hast Du Dich ganz am Ende "verzählt".
Es muss heißen:
[mm] $$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^n-1}{x^m-1} [/mm] = [mm] \frac{\sum^{n-1}_{k=0}1}{\sum^{m-1}_{l=0}1} [/mm] = [mm] \frac{\red{n}}{\red{m}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Palonina,
hmm, deine Idee in (c) ist genau richtig, aber ich komme auf einen anderen Ausdruck nach dem Erweitern, in dem man wunderbar [mm] $x\to [/mm] 0$ betrachten kann:
[mm] $\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x}}=\frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}-\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\cdot{}\blue{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}}{\sqrt{x}\cdot{}\blue{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}}=\frac{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Polonina!
Deine Vorgehensweise klingt gut und richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Palonina |
Hallo Loddar, hallo schachuzipus,
ich danke euch für eure Korrekturen. Wenn die Summation bei 0 beginnt, habe ich natürlich n, bzw. m Summanden. Und dann dieser dumme Vorzeichenfehler.
Gruß,
Palonina
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