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Limes ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Sa 15.11.2008
Autor: SusanneK

Aufgabe
Seien [mm] n \in \IN, a \in \IR, f:\IR \setminus \{a\} \rightarrow \IR [/mm] durch [mm] f(x):=\bruch{x^n-a^n}{x-a} [/mm] gegeben.
Dann ist [mm] \limes_{x\rightarrow a}=na^{n-1} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo, wer kann mir bitte erklären, wie man auf diesen Grenzwert kommt ?

Danke, Susanne.

        
Bezug
Limes ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Sa 15.11.2008
Autor: abakus


> Seien [mm]n \in \IN, a \in \IR, f:\IR \setminus \{a\} \rightarrow \IR[/mm]
> durch [mm]f(x):=\bruch{x^n-a^n}{x-a}[/mm] gegeben.
>  Dann ist [mm]\limes_{x\rightarrow a}=na^{n-1}[/mm]
>  Ich habe diese
> Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
> Hallo, wer kann mir bitte erklären, wie man auf diesen
> Grenzwert kommt ?
>  
> Danke, Susanne.

Hallo,
es ist  [mm]\bruch{x^n-a^n}{x-a}=x^{n-1}+x^{n-2}*a+x^{n-3}*a^2+x^{n-4}*a^3+ ... +x^1*a^{n-2}+a^{n-1}[/mm]
Das sind also n Summanden, die für [mm] x\rightarrow [/mm] a alle den Wert [mm] a^{n-1} [/mm] annehmen.
Gruß Abakus


Bezug
                
Bezug
Limes ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Sa 15.11.2008
Autor: SusanneK

Hallo Abakus,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!

> [mm]\bruch{x^n-a^n}{x-a}=x^{n-1}+x^{n-2}*a+x^{n-3}*a^2+x^{n-4}*a^3+ ... +x^1*a^{n-2}+a^{n-1}[/mm]
> Das sind also n Summanden, die für [mm]x\rightarrow[/mm] a alle den
> Wert [mm]a^{n-1}[/mm] annehmen.

Dass aus den n Summanden für [mm]x\rightarrow[/mm] a alle den
Wert [mm]a^{n-1}[/mm] annehmen habe ich jetzt verstanden.
Aber wie kommst Du auf diese Summanden ?
[mm] (x^n-a^n)(x-a)^{-1} [/mm] irgendwie so (ich fürchte, ich komme mit den Potenzen nicht klar) ?

Danke, Susanne.

Bezug
                        
Bezug
Limes ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Sa 15.11.2008
Autor: abakus


> Hallo Abakus,
>  vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !!
>  
> >
> [mm]\bruch{x^n-a^n}{x-a}=x^{n-1}+x^{n-2}*a+x^{n-3}*a^2+x^{n-4}*a^3+ ... +x^1*a^{n-2}+a^{n-1}[/mm]
> > Das sind also n Summanden, die für [mm]x\rightarrow[/mm] a alle den
> > Wert [mm]a^{n-1}[/mm] annehmen.
>  Dass aus den n Summanden für [mm]x\rightarrow[/mm] a alle den
> Wert [mm]a^{n-1}[/mm] annehmen habe ich jetzt verstanden.
>  Aber wie kommst Du auf diese Summanden ?
>  [mm](x^n-a^n)(x-a)^{-1}[/mm] irgendwie so (ich fürchte, ich komme
> mit den Potenzen nicht klar) ?
>  
> Danke, Susanne.


Hallo,
führe die Polynomdivision [mm] (x^n-a^n):(x-a) [/mm] aus.
Wenn du damit Probleme hast, dann mache es umgedreht (Probe durch Multiplikation an meinem Ergebnis).

Es muss
[mm] (x^{n-1}+x^{n-2}*a+x^{n-3}*a^2+x^{n-4}*a^3+ [/mm] ... [mm] +x^1*a^{n-2}+a^{n-1})(x-a)=x^n-a^n [/mm] ergeben.
Gruß Abakus



Bezug
                                
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Limes ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Sa 15.11.2008
Autor: SusanneK

Ah, VIELEN DANK !!

LG, Susanne.

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