Likelihood und ML Schätzer < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Zufallsstichprobe [mm] X_1;.....;X_n [/mm] sei unabhängig und identisch verteilt mit Wertebereich [mm] N_0, [/mm] wobei für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt:
[mm] P(X_i [/mm] = k) = (k + [mm] 1)*p^2*(1-p)k [/mm] für k = 0,1,2,3,.....
Der Parameter p [mm] \in [/mm] (0; 1) wird als unbekannt angenommen.
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von [mm] X_i.
[/mm]
Hinweis: Folgende Summenformeln (mit [mm] q\in(0; [/mm] 1)) mögen hilfreich sein:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k*q^k [/mm] = [mm] \bruch {q}{(1-q)^2} [/mm] ; [mm] \summe_{k=1}^{n} =k^2 *q^k [/mm] = [mm] \bruch {q*(1+q)}{(1-q)^3} [/mm] ; [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 *q^k [/mm] = [mm] \bruch {q*(1+4q+q^2)} {(1-q)^4}
[/mm]
b)Stellen Sie die Likelihood- und die Log-Likelihood-Funktion auf.
c) Bestimmen Sie den ML-Schätzer [mm] \hat [/mm] p von p.
d) Sei p = 0,2 und n = 40, sei X das Stichprobenmittel. Mit Ihrem Resultat aus a) folgt dann (warum?): [mm] E(\overline [/mm] X) = 8; [mm] Var(\overline [/mm] X) = 1:
Approximieren Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die folgende Wahrscheinlichkeit: [mm] P(0,18\le \hat [/mm] p [mm] \le [/mm] 0,22) [mm] \approx [/mm] ? |
Hallo,
tut mir leid, wenn ich das Forum ein wenig überstrapaziere, aber für dieses Aufgabenblatt ist noch keine Musterlösung online und ich finde die Hilfe hier einfach sehr gut und verständlich.
Zu der Aufgabenstellung:
Meine Überlegungen zu Aufgabenteil a sind folgende, da für 0<p<1 gilt gilt doch auch 0<1-p<1 und somit, kann ich auch [mm] (1-p)^k [/mm] für [mm] q^k [/mm] in die Summenformel nehmen.
Ausserdem müsste doch gelten [mm] \summe_{k=0}^{n} (k+1)*q^k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} k*q^k [/mm] oder?
Wenn das der Fall ist, dann wäre doch [mm] E(X)=p^2*\summe_{k=0}^{n} (k+1)*(1-p)^k [/mm] = 1-p analog wäre dann [mm] E(X^2)= \bruch [/mm] {(1-p)*(2-p)} {p}
und damit [mm] Var(X)=\bruch {(1-p)*(2-p)-p*(1-p)^2} [/mm] {p}
b)Der Parameter von dem die Likelihoodfunktion hier abhängt ist p, also habe ich für L(p)=p^2n * [mm] \produkt_{k=1}^{n} (k+1)*(1-p)^k [/mm] und ln L(p)= 2n*ln (p) [mm] +\summe_{k=1}^{n} [/mm] ln(k+1)+k*ln(1-p)
c) Wenn ich ln L(p) ableite komme ich auf folgende Funktion ln L'(p) =
[mm] \bruch{2n}{p} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{1-p} [/mm] und damit komme ich nicht weiter, da ich p nicht isoliert bekomme.
Wenn mir jemand vlt Hinweise zu meinen Fehlern geben könnte wäre das super.
Mfg
K.R.
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Hallo,
also mir ist jetzt der Fehler den ich beim Berechnen des Erwartungswertes gemacht habe.
Ich kann ich habe vergessen, dass ich die eigentlichen Werte noch in die Summenformel miteinbeziehen muss, also gilt
[mm] E(X)=p^2*\summe_{k=1}^{n}k*(k+1)*(1-p)^k =p^2*( \bruch{(1-p)*(2-p)}{p^3} +\bruch{1-p}{p^2} [/mm] )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 29.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 29.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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