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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mi 23.04.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Zeige: Bis auf Isomorphie gibt es genau zwei zweidimensoionale komplexe Liealgebren. |
Also ich würde mal sagen da muss man diese beiden erstmal finden und ich würde erstmal von den Endomorphismen ausgehen, weiß dann aber leider nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Do 24.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeige: Bis auf Isomorphie gibt es genau zwei
> zweidimensoionale komplexe Liealgebren.
>
> Also ich würde mal sagen da muss man diese beiden erstmal
> finden und ich würde erstmal von den Endomorphismen
> ausgehen, weiß dann aber leider nicht weiter.
Als zweidimensionale Lie-Algebra ist eine solche als [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] isomorph zu [mm] $\IC^2$. [/mm] Die Lie-Klammer ist eine bilineare Abbildung -- wie klassifiziert man alle bilinearen Abbildungen [mm] $\IC^2 \to \IC$? [/mm] Jetzt hast du Eigenschaften der Lie-Klammer -- was sagen die ueber die Matrix aus? Du siehst dann schnell, dass es nicht viele Moeglichkeiten gibt.
Vielleicht fallen dir spontan zwei recht verschiedene Moeglichkeiten auf (einmal kann die Klammer ja identisch 0 sein), und du kannst dann zeigen dass jede komplexe Lie-Algebra zu einer der beiden isomorph ist indem du konkret einen Isomorphismus angibst und die Homomorphismus-Eigenschaften nachrechnest.
LG Felix
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