Lichtbrechung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Blise |
| Aufgabe | | Eine Lichtwelle bewegt sich in der Halbebene e:y>0 gleichförmig mit der Geschwindigkeit c1=25m/s, in der Halbebene e2:y<17m/s. Welche Bahn muss die Lichtquelle einschlagen damit sie möglich rasch von A(-9|8) nach B(9|-4) gelangt ? Verifizere anhand dieses Beispieles das Brechungsgesetz von SNELLIUS sin(alpha)/sin(Betha)=c1/c2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Problem ist wie bei allen Extremwert aufgaben die NB. Hab damit begonnen mir das ganze als Skizze aufzuzeichen mit einem Punkt Q auf der x Achse, AQ und ein Basis Punkt A' ergeben ein Rechtwinkliges Dreieck mit Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.den Katheten 8 und x, und ein zweites Dreieck BQ mit einem Basispunkt B' auf der x Achse mit den Seiten 4 und (18-x) [ Da A' zu B' = 18 ]
Von dem ausgehend komm ich jetzt recht schnell auf [mm] \wurzel{8^2 + x^2} [/mm] + [mm] \wurzel {4^2+(18-x)^2}, [/mm] was mir nach Ableitungen + lösen zu x=12 führt, also Q bei ( 3|0 ) , Laut meinen Lösungen allerdings sollte Q bei (6|0 ) liegen, also ich denke eich hab irgendwie die Geschwindigkeit vernachlässigt.
Mein Problem ist nur das mir bei jeglichen Ansätzen die die Geschwindikeit berücksichtigen nur ein Schmarn rauskommt :/ hätte irgendwer einen guten NB Ansatz ?
Danke !
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> Von dem ausgehend komm ich jetzt recht schnell auf
> [mm]\wurzel{8^2 + x^2}[/mm] + [mm]\wurzel {4^2+(18-x)^2},[/mm] was mir nach
> Ableitungen + lösen zu x=12 führt, also Q bei ( 3|0 ) ,
> Laut meinen Lösungen allerdings sollte Q bei (6|0 ) liegen,
> also ich denke eich hab irgendwie die Geschwindigkeit
> vernachlässigt.
Genau das ist der Knackpunkt. Deshalb geht dein Lichtstrahl geradeaus. Du sollst ja die Zeit minimieren, also
t=[mm]\bruch{\wurzel{8^2 + x^2}}{25}[/mm] + [mm]\bruch{\wurzel {4^2+(18-x)^2}}{17},[/mm]
Beider Ableitung darfst du die innere Ableitung nicht vergessen:
t'=[mm]\bruch{x}{25\wurzel{8^2 + x^2}}[/mm] + [mm]\bruch{18-x}{17\wurzel {4^2+(18-x)^2}}[/mm] (schon mit 2 gekürzt),
Jetzt nicht nach x auflösen, sondern auf der einen Seite 25/17 (oder umgekehrt) bilden und zeigen, dass auf der anderen Seite sin [mm] \alpha [/mm] / sin [mm] \beta [/mm] steht.
In deinem Fall sollst du aber x wohl doch bestimmen.
Anmerkung: es wäre schöner gewesen, du hättest nicht die linke x-Kathete x genannt, sondern x+9, die rechte 9-x, dann wäre der x-Wert sofort richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Blise |
Ich hab vergessen hinzuzufügen das ich mit dem Ti Voyager arbeite, also die Ableitung ist nicht das Problem, Probleme hat der Ti allerdings wenn er ( nun auf dem Weg Q auszurechnen ) die 1. Ableitung = 0 setzt um mir x auszuspucken :/, der Rechner ist nicht so ein Freund von [mm] \wurzel{x^2-.....}
[/mm]
Mit Seite ist der Term links vom Links und Rechts vom Blus gemeint oder 25/17 = .... + .... ?
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Zunächst: ich habe noch eine innere Ableitung vergessen: die Klammer in der 2. Wurzel gibt noch mal ein -
Somit
t'=$ [mm] \bruch{x}{25\wurzel{8^2 + x^2}} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{18-x}{17\wurzel {4^2+(18-x)^2}} [/mm] $.
Nun setzt du
t'=$ [mm] \bruch{x}{25\wurzel{8^2 + x^2}} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{18-x}{17\wurzel {4^2+(18-x)^2}} [/mm] $ =0
Somit
$ [mm] \bruch{x}{25\wurzel{8^2 + x^2}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{18-x}{17\wurzel {4^2+(18-x)^2}} [/mm] $
und damit
[mm] \bruch{17}{25} [/mm] = [mm] \bruch{18-x}{\wurzel {4^2+(18-x)^2}}/ \bruch{x}{\wurzel{8^2 + x^2}} [/mm] = sin [mm] \alpha [/mm] /sin [mm] \beta
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:22 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Blise |
> Nun setzt du
> t'=[mm] \bruch{x}{25\wurzel{8^2 + x^2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{18-x}{17\wurzel {4^2+(18-x)^2}}[/mm] =0
das ist eigentlich eh recht einleuchtend, n ur mein eigentliches Problem ist, dass wenn ich mir jetzt rein für den 1. Schritt Q berechnen will, mir mein Taschenrechner keine Lösungen angibt, er schafft es nicht die Gleichung zu lösen :/ gibts ne Möglichkeit die irgendwie Rechner freundlich zu machen ?
btw danke für den 2. Lösungsansatz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 11.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Blise |
Oh tut mir furchtbar Leid, Taschenrechner jetzt mal 5 Minuten zum Rechnen abgestellt , dann hatte er das Ergebniss, sry für die blöde Fragerei ^^
danke nochmal !
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