Lgs und Basis < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Di 29.07.2008 | | Autor: | jack123 |
| Aufgabe | Lösen sie das lineare gleichungssystem.
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 8 & 3} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Welche Information entnehmen Sie dem Lösüngsverfahren zur Dimension des Bildes der Matrix? Können Sie eine Basis für das Bild angeben? |
Hallo Leute !!
Ich habe das LGS gelöst und komme an der stelle wo es um die basis geht nicht mehr weiter.
Hier meine rechnung:
Gauß
1 -2 1 =0
2 1 3 = 0
1 8 3 = 0
1 -2 1 = 0
0 -5 -1 =0
0 -10 -2 = 0
1 -2 1 = 0
0 -5 -1 = 0
0 0 0 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] dimV (3) = dimKernf (1) + Rangf (2)
Gauß-Jordan
1 -2 1 = 0
0 -5 -1 = 0
[mm] \Rightarrow
[/mm]
1 0 1,4 = 0
0 1 0,2 = 0
Ich hoffe, das ist soweit richtig...
Wie kann ich jetzt aus diesem Ergebniss meine Basis bekommen?
Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen und schon mal vielen dank im vorraus .
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm] \red{1} [/mm] 0 1,4 = 0
> 0 [mm] \red{1} [/mm] 0,2 = 0
>
> Ich hoffe, das ist soweit richtig...
>
> Wie kann ich jetzt aus diesem Ergebniss meine Basis
> bekommen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, bis hierher hast du richtig gerechnet, Du hast ja auch schon festgestellt, daß die Dimension des Bildes =2 und die des Kerns =1 ist.
Die führenden Elemente der verbliebenen Zeilen stehen in der ersten und zweiten Spalte, daraus kannst Du wissen, daß die 1. und 2. Spalte Deiner Startmatrix (bzw. die entsprechenden Spaltenvektoren) das Bild der Matrix aufspannen.
Den Kern findest Du so:
Deiner Matrix kannst Du entnehmen, daß Du z.B. [mm] x_3 [/mm] frei Wählen kannst.
Es ist dann [mm] x_2=-0.2x_3 [/mm]
und
[mm] x_1=-1.4x_3.
[/mm]
Somit haben sämtliche Lösungsvektoren die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-1.4x_3\\-0.2x_3\\x_3}=x_3*\vektor{-1.4\\-0.2\\1}.
[/mm]
Also spannt [mm] \vektor{-1.4\\-0.2\\1} [/mm] den Kern auf, und damit ist eine basis des kerns gefunden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Do 31.07.2008 | | Autor: | jack123 |
Danke fürs Willkommen und die rasche Beantwortung meiner Frage !
Nun weiß ich bescheid :)
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