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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Levy's Borell Cantelli
Levy's Borell Cantelli < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Levy's Borell Cantelli: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Sa 21.10.2006
Autor: DeutschlandvorschiessteinTor

Aufgabe
Es seien [mm] (X_{n})_{n \in \IN \ 0} [/mm] unabhaengige, auf dem Einheitsintervall [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Zeigen Sie: Mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt [mm] n^2\*X_{n+1} < \summe_{k=1}^{n} X_k [/mm] fuer unendlich viele [mm] n \in N [/mm].

Ich versuche es mit Levy's Borell Cantelli, der ja besagt, dass folgendes äquivalent ist:

1) [mm] \summe_{n \in \IN} 1_{A_n} = \infty [/mm]
2) [mm] \summe_{n \in \IN} \mathbb{P}(A_n | F_{n-1})= \infty [/mm]

Bei der Ausührung hakt es allerdings am Ende, da ich dort foglenden Term stehen habe, und der ja nun möglichst unendlich sein sollte:

[mm] \summe_{n \in \IN} \summe_{k=1}^{n-1}\bruch {X_k}{(n-1)^2}[/mm]

Wobei letztere Summe mein Ergebnis für die einzelnen bedingten Wkt ist.

Ich wäre Euch sehr dankbar für Hilfestellungen hierzu!

Vielen Dank!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Levy's Borell Cantelli: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Sa 21.10.2006
Autor: DirkG

Sei [mm] $A_n [/mm] := [mm] \left[ n^2X_{n+1} < \sum_{k=1}^n ~ X_k \right]$. [/mm] Dann kann man abschätzen
[mm] $$P(A_n) \geq P\left(n^2X_{n+1} < \frac{n}{2} \leq \sum_{k=1}^n ~ X_k \right) [/mm] = [mm] P\left(n^2X_{n+1} < \frac{n}{2}\right)\cdot P\left( \frac{n}{2} \leq \sum_{k=1}^n ~ X_k \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2n} \cdot \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4n}$$ [/mm]

Keine Ahnung, was jetzt [mm] $F_{n-1}$ [/mm] ist (irgendeine Filtration, also [mm] $F_{n-1}=\sigma(X_1,\ldots,X_{n-1})$ [/mm] o.ä.?), "Levy's Borel Cantelli" ist wohl so eine Art "Borel Cantelli" für abhängige Ereignisse - kenne ich halt nicht. Aber vielleicht kannst du obige Abschätzung entsprechend auch für dein [mm] $P(A_n \bigm| F_{n-1})$ [/mm] gebrauchen...

Bezug
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