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Forum "Uni-Analysis" - Lemma von Poincaré
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Lemma von Poincaré: Suche Homotopie
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mi 04.10.2006
Autor: Moe007

Aufgabe
Zeige: Jede geschlossene 1-Form w auf V:=(]-1,1[ [mm] \times [/mm] ]-3,3[) [mm] \cup [/mm] (]-3,3[ [mm] \times [/mm] ]-1,1[) [mm] \subset \IR^{2} [/mm] ist exakt

Hallo,
ich hab bei der Aufgabe ein Problem bei der Findung der Homotopie.
Ich weiß, um zu zeigen, dass w exakt ist, muss doch V glatt zusammenziehbar sein oder? Und damit V glatt zusammenziehbar ist, brauch ich doch eine glatte Homotopie zwischen der konstanten Abb. [mm] \lambda [/mm] : V [mm] \to [/mm] V und der Identitätabb. [mm] \nu [/mm] : V  [mm] \to [/mm] V.

Wie kann ich aber solch eine glatte Homotopie finden?

Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.

Danke,
Moe

        
Bezug
Lemma von Poincaré: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Do 05.10.2006
Autor: Hanno

Hallo Moe!

Die Menge [mm] $U\cup [/mm] V$ ist sternförmig. Daraus kannst du bereits die Existenz einer Stammfunktion folgern.

Anderenfalls kannst du zeigen, dass man in [mm] $U\cup [/mm] V$ wegunabhängig integrieren kann. Daraus folgte dann ebenfalls die Existenz einer Stammfunktion. Dies folgt aus dem Lemma von Poincaré, wenn du zeigen kannst, dass je zwei Wege mit gleichem Anfangs- und Endpunkten [mm] $a,b\in U\cup [/mm] V$ stets homotop zueinander sind. Dazu schlage ich vor, dass du für einen beliebigen solchen Weg die Homotopie zum Weg [mm] $f_{a,b}:[0,1]\to U\cup [/mm] V$, $f(x)=(1-2x)a$ für [mm] $0\leq x\leq \frac{1}{2}$ [/mm] und $f(x)=(2x-1)b$ für [mm] $\frac{1}{2}\leq x\leq [/mm] 1$ nachweist. Dies geht dank der Sternform der Menge [mm] $U\cup [/mm] V$ recht einfach.


Liebe Grüße,
Hanno

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