Lemma von Fatou < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Do 31.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, mir geht es darum, folgenden Beweis für das Lemma von Fatou zu verstehen, das sagt:
"Es seien [mm] f_n: S\to [0,\infty] [/mm] meßbare Funktionen. Dann gilt: [mm] \integral_S \liminf_{n\to\infty} f_n d\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu [/mm]." |
Ich habe nun in einem Buch ("Einführung in die höhere Analysis", Werner, S. 240/241) hierzu folgenden Beweis gefunden:
"Nach Satz IV.4.4 ist die Funktion [mm] \lim \inf_n f_n [/mm] meßbar. Mit Hilfe des Satzes von Beppo Levi erhält man:
[mm] \integral_S \liminf_{n\to\infty} f_n d\mu = \integral_S \sup_k \inf_{n\geq k} f_n d\mu = \sup_k \integral_S \inf_{j\geq k} f_n d\mu \leq f_n\sup_k \inf_{n\geq k} \integral_S f_n d\mu [/mm]
(denn [mm] \inf_{n\geq k} f_n \leq f_m \forall m\geq k [/mm])
[mm] = \liminf_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu [/mm]."
Mir ist dabei nicht klar, inwiefern man hier den Satz von Beppo Levi angewandt hat (meine Idee: [mm] (\inf_{j\geq k} f_j)_k [/mm] ist monoton wachsend).
Außerdem verstehe ich nicht, wieso man nach dem zweiten Gleichheitszeichen das [mm] \sup_k [/mm] und nach dem [mm] \leq [/mm] das [mm] \inf_{j\geq k} [/mm] jeweils vor das Integral ziehen kann.
Das erste Gleichheitszeichen gilt doch einfach aufgrund der Definition des Limes inferior?
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen kann.
[Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Do 31.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, mir geht es darum, folgenden Beweis für das Lemma
> von Fatou zu verstehen, das sagt:
>
> "Es seien [mm]f_n: S\to [0,\infty][/mm] meßbare Funktionen. Dann
> gilt: [mm]\integral_S \liminf_{n\to\infty} f_n d\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu [/mm]."
>
> Ich habe nun in einem Buch ("Einführung in die höhere
> Analysis", Werner, S. 240/241) hierzu folgenden Beweis
> gefunden:
>
> "Nach Satz IV.4.4 ist die Funktion [mm]\lim \inf_n f_n[/mm] meßbar.
> Mit Hilfe des Satzes von Beppo Levi erhält man:
> [mm]\integral_S \liminf_{n\to\infty} f_n d\mu = \integral_S \sup_k \inf_{n\geq k} f_n d\mu = \sup_k \integral_S \inf_{j\geq k} f_n d\mu \leq f_n\sup_k \inf_{n\geq k} \integral_S f_n d\mu[/mm]
>
> (denn [mm]\inf_{n\geq k} f_n \leq f_m \forall m\geq k [/mm])
>
> [mm]= \liminf_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu [/mm]."
>
>
>
> Mir ist dabei nicht klar, inwiefern man hier den Satz von
> Beppo Levi angewandt hat (meine Idee: [mm](\inf_{j\geq k} f_j)_k[/mm]
> ist monoton wachsend).
Genau, [mm](\inf_{j\geq k} f_j)_k[/mm] ist wachsend.
>
> Außerdem verstehe ich nicht, wieso man nach dem zweiten
> Gleichheitszeichen das [mm]\sup_k[/mm]
Das ist gerade Beppo Levi ! Beachte : für eine wachsende Folge [mm] (a_k) [/mm] ist lim [mm] a_k [/mm] = sup [mm] a_k.
[/mm]
> und nach dem [mm]\leq[/mm] das
> [mm]\inf_{j\geq k}[/mm] jeweils vor das Integral ziehen kann.
Wir setzen [mm] g_k:= \inf_{n \geq k} f_n. [/mm] Dann ist [mm] g_k \le f_n [/mm] für jedes n [mm] \ge [/mm] k. Folglich
$ [mm] \integral_S g_k [/mm] d [mm] \mu \le \integral_S f_n [/mm] d [mm] \mu [/mm] $ für jedes n [mm] \ge [/mm] k
und damit auch
$ [mm] \integral_S g_k [/mm] d [mm] \mu \le \inf_{n \geq k} \integral_S f_n [/mm] d [mm] \mu [/mm] $
FRED
>
>
> Das erste Gleichheitszeichen gilt doch einfach aufgrund der
> Definition des Limes inferior?
>
>
> Es wäre nett, wenn mir jemand helfen kann.
>
> [Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Do 31.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
> > Hallo, mir geht es darum, folgenden Beweis für das Lemma
> > von Fatou zu verstehen, das sagt:
> >
> > "Es seien [mm]f_n: S\to [0,\infty][/mm] meßbare Funktionen. Dann
> > gilt: [mm]\integral_S \liminf_{n\to\infty} f_n d\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu [/mm]."
>
> >
> > Ich habe nun in einem Buch ("Einführung in die höhere
> > Analysis", Werner, S. 240/241) hierzu folgenden Beweis
> > gefunden:
> >
> > "Nach Satz IV.4.4 ist die Funktion [mm]\lim \inf_n f_n[/mm] meßbar.
> > Mit Hilfe des Satzes von Beppo Levi erhält man:
> > [mm]\integral_S \liminf_{n\to\infty} f_n d\mu = \integral_S \sup_k \inf_{n\geq k} f_n d\mu = \sup_k \integral_S \inf_{j\geq k} f_n d\mu \leq f_n\sup_k \inf_{n\geq k} \integral_S f_n d\mu[/mm]
> >
> > (denn [mm]\inf_{n\geq k} f_n \leq f_m \forall m\geq k [/mm])
> >
> > [mm]= \liminf_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu [/mm]."
> >
> >
> >
> > Mir ist dabei nicht klar, inwiefern man hier den Satz von
> > Beppo Levi angewandt hat (meine Idee: [mm](\inf_{j\geq k} f_j)_k[/mm]
> > ist monoton wachsend).
>
> Genau, [mm](\inf_{j\geq k} f_j)_k[/mm] ist wachsend.
> >
> > Außerdem verstehe ich nicht, wieso man nach dem zweiten
> > Gleichheitszeichen das [mm]\sup_k[/mm]
>
>
> Das ist gerade Beppo Levi ! Beachte : für eine wachsende
> Folge [mm](a_k)[/mm] ist lim [mm]a_k[/mm] = sup [mm]a_k.[/mm]
Wieso ist bei einer wachsenden Folge [mm] \lim a_k=\sup a_k [/mm] ?
Ich versuchs erst selbst zu beantworten:
Wenn die Folge unaufhörlich weiter wächst, also divergiert, so leuchtet mir das ein.
Und wenn die Folge gegen einen Wert konvergiert, so ist dies natürlich auch das Supremum (bzw. das Maximum, wenn dieser Grenzwert sogar im Wertebereich liegt).
> > und nach dem [mm]\leq[/mm] das
> > [mm]\inf_{j\geq k}[/mm] jeweils vor das Integral ziehen kann.
>
>
> Wir setzen [mm]g_k:= \inf_{n \geq k} f_n.[/mm] Dann ist [mm]g_k \le f_n[/mm]
> für jedes n [mm]\ge[/mm] k. Folglich
>
>
> [mm]\integral_S g_k d \mu \le \integral_S f_n d \mu[/mm] für
> jedes n [mm]\ge[/mm] k
>
> und damit auch
>
> [mm]\integral_S g_k d \mu \le \inf_{n \geq k} \integral_S f_n d \mu[/mm]
>
Diesen letzten Punkt habe ich noch nicht verstanden, also, wieso man das [mm] \inf_{j\geq k} [/mm] vors Integral ziehen darf.
>
> FRED
> >
> >
> > Das erste Gleichheitszeichen gilt doch einfach aufgrund der
> > Definition des Limes inferior?
> >
> >
> > Es wäre nett, wenn mir jemand helfen kann.
> >
> > [Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.]
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Do 31.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo, mir geht es darum, folgenden Beweis für das Lemma
> > > von Fatou zu verstehen, das sagt:
> > >
> > > "Es seien [mm]f_n: S\to [0,\infty][/mm] meßbare Funktionen. Dann
> > > gilt: [mm]\integral_S \liminf_{n\to\infty} f_n d\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu [/mm]."
>
> >
> > >
> > > Ich habe nun in einem Buch ("Einführung in die höhere
> > > Analysis", Werner, S. 240/241) hierzu folgenden Beweis
> > > gefunden:
> > >
> > > "Nach Satz IV.4.4 ist die Funktion [mm]\lim \inf_n f_n[/mm] meßbar.
> > > Mit Hilfe des Satzes von Beppo Levi erhält man:
> > > [mm]\integral_S \liminf_{n\to\infty} f_n d\mu = \integral_S \sup_k \inf_{n\geq k} f_n d\mu = \sup_k \integral_S \inf_{j\geq k} f_n d\mu \leq f_n\sup_k \inf_{n\geq k} \integral_S f_n d\mu[/mm]
> > >
> > > (denn [mm]\inf_{n\geq k} f_n \leq f_m \forall m\geq k [/mm])
> >
> >
> > > [mm]= \liminf_{n\to\infty} \integral_S f_n d\mu [/mm]."
> > >
> > >
> > >
> > > Mir ist dabei nicht klar, inwiefern man hier den Satz von
> > > Beppo Levi angewandt hat (meine Idee: [mm](\inf_{j\geq k} f_j)_k[/mm]
> > > ist monoton wachsend).
> >
> > Genau, [mm](\inf_{j\geq k} f_j)_k[/mm] ist wachsend.
> > >
> > > Außerdem verstehe ich nicht, wieso man nach dem zweiten
> > > Gleichheitszeichen das [mm]\sup_k[/mm]
> >
> >
> > Das ist gerade Beppo Levi ! Beachte : für eine wachsende
> > Folge [mm](a_k)[/mm] ist lim [mm]a_k[/mm] = sup [mm]a_k.[/mm]
>
> Wieso ist bei einer wachsenden Folge [mm]\lim a_k=\sup a_k[/mm] ?
> Ich versuchs erst selbst zu beantworten:
> Wenn die Folge unaufhörlich weiter wächst, also
> divergiert, so leuchtet mir das ein.
> Und wenn die Folge gegen einen Wert konvergiert, so ist
> dies natürlich auch das Supremum (bzw. das Maximum, wenn
> dieser Grenzwert sogar im Wertebereich liegt).
Das alles ist Analysis I - Stoff ! Schau Dir mal das Monotoniekriterium und seinen Beweis an !
>
> > > und nach dem [mm]\leq[/mm] das
> > > [mm]\inf_{j\geq k}[/mm] jeweils vor das Integral ziehen kann.
> >
> >
> > Wir setzen [mm]g_k:= \inf_{n \geq k} f_n.[/mm] Dann ist [mm]g_k \le f_n[/mm]
> > für jedes n [mm]\ge[/mm] k. Folglich
> >
> >
> > [mm]\integral_S g_k d \mu \le \integral_S f_n d \mu[/mm] für
> > jedes n [mm]\ge[/mm] k
> >
> > und damit auch
> >
> > [mm]\integral_S g_k d \mu \le \inf_{n \geq k} \integral_S f_n d \mu[/mm]
>
> >
> Diesen letzten Punkt habe ich noch nicht verstanden, also,
> wieso man das [mm]\inf_{j\geq k}[/mm] vors Integral ziehen darf.
Auch das ist Analysis I.
Stell Dir vor, Du hast 2 Folgen: [mm] (c_n) [/mm] und [mm] (b_n). [/mm] Stell Dir weiter vor, dass für ein k [mm] \in \IN [/mm] gilt:
(*) [mm] c_k \le b_n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] k
Betrachte die Menge [mm] $M:=\{b_n: n \ge k\}$. [/mm] Aus (*) folgt, dass M nach unten beschränkt ist und dass [mm] c_k [/mm] eine untere Schranke von M ist.
Dann folgt: [mm] c_k \le [/mm] inf M.
FRED
> >
> > FRED
> > >
> > >
> > > Das erste Gleichheitszeichen gilt doch einfach aufgrund der
> > > Definition des Limes inferior?
> > >
> > >
> > > Es wäre nett, wenn mir jemand helfen kann.
> > >
> > > [Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.]
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Do 31.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Vielen Dank für Deine schnelle und gute Hilfe!
Wenn Analysis I doch damals bloß besser gelaufen wäre...
|
|
|
|
