Lemma von Fatou < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Do 10.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo an alle!
wir haben neulich in der vorlesung das lemma von fatou durchgenommen.
lemma von fatou:
es sei [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] ene folge in [mm] \overline{\cal{M}}_{+} (\Omega, \cal{A}). [/mm] dann gilt:
[mm] \integral_{}^{} {\limes_{n\rightarrow\infty} inf f_{n} d\mu} \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] \integral_{}^{} {f_{n} d\mu}
[/mm]
dann hat der Prof zu dem lemma ein beispiel gegeben, dass ich überhaupt nicht verstehe.
Bsp.: (hier: [mm] 1_{]n,n+1]} [/mm] ist die indikatorfunktion)
sei [mm] \lambda [/mm] das lebesguemaß auf [mm] \IR. [/mm] dann gilt:
[mm] \integral_{}^{} {\limes_{n\rightarrow\infty} inf 1_{]n,n+1]} d\lambda} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} [/mm] 0 [mm] d\lambda \le [/mm] 1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] \integral_{}^{} {1_{]n,n+1]} d\lambda}
[/mm]
meine frage: warum ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] 1_{]n,n+1]} [/mm] = 0 und [mm] 1_{]n,n+1]} [/mm] =1 ?
wenn ich ein x [mm] \in \IR [/mm] wähle, und dann einsetze:
[mm] \integral_{}^{} {\limes_{n\rightarrow\infty} inf 1_{]n,n+1]} (x) d\lambda},
[/mm]
dann ist doch [mm] 1_{]n,n+1]} [/mm] (x) = 1, wenn x [mm] \in [/mm] ]n,n+1], und
[mm] 1_{]n,n+1]} [/mm] (x) = 0, wenn x [mm] \not\in [/mm] ]n,n+1].
nach der gleichung von oben liegt aber x anscheinend nie in ]n,n+1], da der ganze term immer 0 ist. warum ist das so?
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. danke!!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Betrachte mal für festes $x [mm] \in \IR$ [/mm] die Folge
[mm] $(1_{]n,n+1]}(x))_{n \in \IN}$.
[/mm]
Diese ist offenbar gleich $0$ für alle $n+1>x$.
Daher gilt:
[mm] $\liminf_{n \to \infty} 1_{]n,n+1]}(x)=0$,
[/mm]
und zwar für alle $x [mm] \in\IR$.
[/mm]
Im ersten Fall integrieren wir also die konstante Nullfunktion!!
Und rechts gilt:
[mm] $\int\limits_{\IR} 1_{]n,n+1]}\, d\lambda [/mm] = (n+1)-n=1$,
und damit auch
[mm] $\liminf\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\IR} 1_{]n,n+1]}\, d\lambda [/mm] = 1$.
Liebe Grüße
Stefan
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