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| Aufgabe | Untersuche folgende Reihe auf Konvergenz.
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{n}{n^2+1}[/mm] |
Guten Abend.
Bei der gegebenen Reihe handelt es sich um eine alternierende Reihe, deshalb wende ich nun das Leibnizkriterium an.
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{n}{n^2+1} = \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{-n}{n^2+1}[/mm]
Ist die Folge eine Nullfolge?
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-n}{n^2+1} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-1}{n+ \bruch{1}{n}} = 0[/mm]
Damit ist es eine Nullfolge.
*Ich hoffe die Schritte reichen aus?*
Ist die Folge monoton fallend?
[mm]a_{n+1} < a_n \gdw \bruch{-(n+1)}{(n+1)^2+1} < \bruch{-n}{n^2+1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-n-1}{n^2+2n+2} < \bruch{-n}{n^2+1}
[/mm]
[mm]\gdw -n^3 -n^2 -n -1 < -n^3 -2n^2 -2n
[/mm]
[mm]\gdw 1 > n^2 + n[/mm]
Das stimmt aber nicht.
In der Lösung steht das die Reihe konvergiert, also muss ich einen Fehler gemacht haben.
Könnt Ihr mit bitte sagen wo?
Gruß,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Do 17.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei der Monotonie musst du die absoluten Glieder vergleichen, du haettest ja auch [mm] (-1)^n [/mm] ausklammern koennen!
Gruss leduart
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Hallo leduart :)
> Hallo
> bei der Monotonie musst du die absoluten Glieder
> vergleichen,
Also:
[mm]|a_{n+1}| < |a_n|[/mm]
So wäre die Folge monoton fallend.
du haettest ja auch [mm](-1)^n[/mm] ausklammern
> koennen!
Wie, wo, was?
Das verstehe ich nicht.
Wo und warum hätte ich das ausklammern können?
Danke :)
Gruß,
Lisa
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Hallo Lisa,
Du hast überhaupt nichts falsch gemacht. Cool bleiben.
Du hast nur etwas übersehen.
Schau mal [http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium#Aussage_des_Kriteriums] hier [/url]. Da steht in der letzten Zeile des Abschnitts ein kleiner, aber bedeutsamer Satz:
"Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen."
Es gibt daher verschiedene Formulierungen des Leibniz-Kriteriums.
Man könnte z.B. die Vorbedingungen auch so fassen (bewusst in Stichworten und nicht mathematisch vollständig):
1) alternierend
2) Nullfolge
3) monotone Folge mit [mm] |a_{n+1}|\le|a_n|
[/mm]
1) und 2) hast Du eingangs gezeigt, und dann hast Du 3) schön nachgewiesen. Nur hast Du nicht gemerkt, dass Du damit schon fertig warst. Es gibt schlimmere Fehler im Leben. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Do 17.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo reverend :)
> Hallo Lisa,
>
> Du hast überhaupt nichts falsch gemacht. Cool bleiben.
> Du hast nur etwas übersehen.
>
> Schau mal
> [http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium#Aussage_des_Kriteriums]
> hier [/url]. Da steht in der letzten Zeile des Abschnitts ein
> kleiner, aber bedeutsamer Satz:
> "Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende
> Nullfolgen."
>
> Es gibt daher verschiedene Formulierungen des
> Leibniz-Kriteriums.
> Man könnte z.B. die Vorbedingungen auch so fassen
> (bewusst in Stichworten und nicht mathematisch
> vollständig):
> 1) alternierend
> 2) Nullfolge
> 3) monotone Folge mit [mm]|a_{n+1}|\le|a_n|[/mm]
>
> 1) und 2) hast Du eingangs gezeigt, und dann hast Du 3)
> schön nachgewiesen. Nur hast Du nicht gemerkt, dass Du
> damit schon fertig warst. Es gibt schlimmere Fehler im
> Leben.
Okay, danke :)
Ich schreibe morgen erst um 18 Uhr, es ist nicht verkehrt, wenn ich morgen früh aufstehe und nochmal ein paar Aufgaben mache, oder?
Also zumindest die bei denen ich noch Fragen habe.
Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Do 17.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Lisa,
> > Man könnte z.B. die Vorbedingungen auch so fassen
> > (bewusst in Stichworten und nicht mathematisch
> > vollständig):
> > 1) alternierend
> > 2) Nullfolge
> > 3) monotone Folge mit [mm]|a_{n+1}|\le|a_n|[/mm]
> >
> > 1) und 2) hast Du eingangs gezeigt, und dann hast Du 3)
> > schön nachgewiesen. Nur hast Du nicht gemerkt, dass Du
> > damit schon fertig warst. Es gibt schlimmere Fehler im
> > Leben.
>
> Okay, danke :)
> Ich schreibe morgen erst um 18 Uhr, es ist nicht verkehrt,
> wenn ich morgen früh aufstehe und nochmal ein paar
> Aufgaben mache, oder?
Das hängt von Deinem Lerntyp und Deinem Schlafbedürfnis und -verhalten, Deinem Biorhythmus, der Mondphase, dem aktuellen Zinssatz für 5jährige chinesische Staatsanleihen und dem Beweis der Kontinuumshypothese ab. Ich würde also für ein deutliches "Jein" eintreten, wenn nicht gar für ein "Vielleicht". Ansonsten hängt es von der Persönlichkeit ab, ob auch "womöglich", "notfalls" oder gar "ausgeschlossen" auch noch in Frage kämen.
Ganz persönlich: ich würds nicht machen.
> Also zumindest die bei denen ich noch Fragen habe.
Am besten nur die. Oder sogar höchstens die.
Ich habe irgendwann gelernt, dass ich Last-Minute-Informationen nicht mehr gut verarbeite (oder nur selten), sondern dass für mich eine 18h-Prüfung hieße: bis mindestens 9h schlafen, frühstücken, Liste machen was ich hätte lernen müssen, die Sachen kurz überfliegen, die ich nicht gelernt habe, dann die, die ich gelernt habe (diese Reihenfolge ist beruhigender), dann nettes langes Mittagessen, wenn irgend möglich sogar ein Nickerchen (sonst halt ein paar sehr ordentliche Löcher in die Luft gucken), ab zur Prüfung ohne weiteres Essen, aber mit genügend Getränken. Alkoholische erst hinterher...
Das wäre für mich ein guter Plan. Zwischendurch hätte ich dann noch eingekauft, den Gerichtsvollzieher vertröstet, wäre 3-4h arbeiten gegangen und hätte mich mit meiner Freundin gestritten. Oder versöhnt. Hauptsache Ablenkung. Bei einer äußerst schweren Prüfung oder einer Nachprüfung hätte ich womöglich sogar noch Hemden gebügelt, obwohl ich die lieber gar nicht anziehe.
Was für Dich allerdings gut ist, musst Du im Lauf der Zeit selbst herausfinden. Die Hirnforschung sagt aber trotz aller unterschiedlichen Lerntypen etc.: niemals bis zum letzten Moment lernen, das schafft kein neues Wissen, sondern blockiert nur vorhandenes.
Wie gesagt, cool bleiben. Kennst Du auch nur einen hektischen Gewinnertyp? Die Kunst ist doch die, das Risiko des Verlierens in Kauf zu nehmen und dann eben dran vorbeizuschippern. Alle nötigen Kurswechselmanöver kannst Du, was soll also passieren?
Nach wie vor: viel Erfolg!
Und wenn Du dafür Geld hast, könntest Du auch brunchen gehen, aber möglichst spät. Wie früh macht eigentlich das Kino auf? Und haben die auch einen Film, den Du schon kennst? Neu wär ja schlecht.
lg
rev
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