Leibniz-Kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Do 29.04.2010 | | Autor: | mich1985 |
| Aufgabe | Zu prüfen ist die Konvergenz mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}k}{k^2+1} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bin mir leider bei der Beantwortung etwas unsicher ob das so korrekt ist. Zur Erfüllung muss ja folgendes erfüllt sein:
monoton fallende Nullfolge (dem Betrag nach):
Hierzu habe ich einfach ein paar Werte eingesetzt (hieraus ist ja ersichtlich das sie monoton fallen).
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}k}{k^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}-\bruch{1}{5}+\bruch{1}{7}-+...
[/mm]
Grenzwert:
[mm] |\bruch{(-1)^{k+1}k}{k^2+1}|=\bruch{k}{k^2+1} [/mm]
für k -> unendlich strebt der Ausdruck gegen Null.
Somit sind doch alle Bedigungen erfüllt oder habe ich etwas falsch gemacht?
Gruß
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Hallo,
falsch ist das nicht, was du machst, aber es könnte doch etwas stringenter sein!
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}k}{k^2+1} [/mm] $
So zu zeigen wäre jetzt also, dass
[mm] \left|\bruch{(-1)^{k+1}k}{k^2+1}\right|=\left|\bruch{1}{k^2+1}\right| [/mm] monoton fallend ist, nun es gilt
[mm] (k+1)^2+1>k^2+1 \Rightarrow \bruch{1}{(k+1)^2+1}<\bruch{1}{k^2+1}, [/mm] da k>0 ist, haben wir [mm] \bruch{k}{(k+1)^2+1}<\bruch{k}{k^2+1} \Rightarrow a_{k+1}
Nun ist noch zu zeigen, dass [mm] \bruch{k}{k^2+1}\to [/mm] 0 wenn [mm] k\to\infty. [/mm] Das geht ja denn fix, denn [mm] \bruch{k}{k^2+1}<\bruch{k}{2k^2} \forall [/mm] k>1 usw usf.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Do 29.04.2010 | | Autor: | mich1985 |
Danke!
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