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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mi 27.01.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | an := [mm] \bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}
[/mm]
zeigen sie, dass die folge konvergiert |
Hallo zusamme,
kann mir jemand an diesem beispiel vllt zeigen wie das leibniz-kriterium funktioniert?
also die eigenschaften sind ja
an > 0
an [mm] \ge [/mm] an+1
lim an=o
aber ich weiß nicht wie ich das formal aufschreibe und so!
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> an := [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> zeigen sie, dass die folge konvergiert
> Hallo zusamme,
>
> kann mir jemand an diesem beispiel vllt zeigen wie das
> leibniz-kriterium funktioniert?
>
> also die eigenschaften sind ja
> an > 0
> an [mm]\ge[/mm] an+1
> lim an=o
>
> aber ich weiß nicht wie ich das formal aufschreibe und
> so!
Hallo,
Du kannst es so schreiben:
Die Reihe [mm] \summe(-1)^{n}a_n [/mm] mit [mm] a_n=bruch{1}{n} [/mm] ist alternierend.
Offensichtlich ist [mm] a_n=bruch{1}{n}>0.
[/mm]
Wegen [mm] \lim_{n\to \infty}\bruch{1}{n}=0 [/mm] ist [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge.
Es gilt n<n+1 ==> [mm] \bruch{1}{n}>bruch{1}{n+1}, [/mm] also ist [mm] a_n [/mm] monoton fallend.
Somit handelt es sich bei [mm] a_n [/mm] um eine nichtnegative, monoton fallende Nullfolge.
Mit dem Leibnizkriterium erhält man, daß die Reihe konvergiert.
(Das [mm] a_n [/mm] ist hier so übersichtlich, daß man kein weiteres Gewese machen muß.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Do 28.01.2010 | | Autor: | peeetaaa |
danke! jetzt weiß ich wenigstens wie ich vorgehen muss ;)
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