Leibnitzkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Sa 25.10.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | | Geben Sie den Grenzwert von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4k²-1} [/mm] an falls er existiert. |
Ich weiß, das die Reihe Konvergent ist, aber wie finde ich den Grenzwert raus?
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Hallo JMW,
> Geben Sie den Grenzwert von [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4k²-1}[/mm]
> an falls er existiert.
> Ich weiß, das die Reihe Konvergent ist, aber wie finde ich
> den Grenzwert raus?
Wieso steht im Betreff "Leibnizkriterium"? (übrigene ohne "tz"). Das kannst du hier nicht gebrauchen, ich sehe nirgends eine alternierende Reihe 
Hier musst du über den GW der Partialsummenfolge gehen.
Wenn eine Reihe [mm] $\sum\limits_{k}a_k$ [/mm] konvergent ist, so gilt [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}S_n$
[/mm]
Mache hier eine Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{(2k+1)(2k-1)}=\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}$
[/mm]
Berechne das, dann schreibe dir eine n-te Partialsumme [mm] $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}\right)$ [/mm] hin, du wirst sehen, das ergibt eine nette Teleskopsumme, in der sich ne Menge raushebt
Dann mache den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] und du bekommst den Reihenwert
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Sa 25.10.2008 | | Autor: | JMW |
Vielen Dank, ja beim Schreiben des Titels war ich wohl mit den Gedanken noch bei einer vorherigen Aufgabe 
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