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| Aufgabe | Mit Hilfe der erzeugenden Funktion der Legendrepolynome zeige man
[mm] \[\summe_{n=1}^{\infty}x^n/n*P_{n-1}(x)=1/2*log{\bruch{1-x}{1+x}}\] [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die erzeugenden Funktion lautet
[mm] \[(1-2xt+t^2)^{-\bruch{1}{2}}=\summe_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n\]
[/mm]
Für mich würde es nahe liegen, nach t zu integrieren und anschließen x=t zu setzten. Mir ist aber nicht klar, ob der letzte Schritt zulässig ist und desweiteren ist das Integral der erzeugenden Funktion nicht der gewünschte Ausdruck der zu zeigenden Identität. Die Summe würde nach der Integration also stimmen, aber der Rest nicht.
Bitte um kleine Hilfestellung, was zu tun ist.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Mit Hilfe der erzeugenden Funktion der Legendrepolynome
> zeige man
>
> [mm]\[\summe_{n=1}^{\infty}x^n/n*P_{n-1}(x)=1/2*log{\bruch{1-x}{1+x}}\][/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Die erzeugenden Funktion lautet
>
> [mm]\[(1-2xt+t^2)^{-\bruch{1}{2}}=\summe_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n\][/mm]
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> Für mich würde es nahe liegen, nach t zu integrieren und
> anschließen x=t zu setzten. Mir ist aber nicht klar, ob
> der letzte Schritt zulässig ist und desweiteren ist das
> Integral der erzeugenden Funktion nicht der gewünschte
> Ausdruck der zu zeigenden Identität. Die Summe würde nach
> der Integration also stimmen, aber der Rest nicht.
>
> Bitte um kleine Hilfestellung, was zu tun ist.
Hallo,
ich erhalte
[mm] $\int_0^x \frac [/mm] {dt} [mm] {\sqrt {1 - 2xt +t^2}} [/mm] = [mm] \frac [/mm] 1 2 [mm] \log\frac [/mm] {1+x} {1-x}$ für [mm] $0\le [/mm] x < [mm] 1\,.$
[/mm]
Laut Aufgabe wäre das Integral negativ, aber dies kann bei dem positiven Integranden nicht sein.
Grüße,
Wolfgang
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Stimmt, ich hatte nicht daran gedacht von 0 bis x zu integrieren 
Danke vielmals!
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