Lebesguesche Zerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:08 So 06.07.2008 | | Autor: | SorcererBln |
| Aufgabe | | Erweitern Sie den Beweis des Lebesgue'schen Zerlegeungssatzes auf [mm] $\sigma$-endliche [/mm] Maße [mm] $\nu$! [/mm] |
Frage:
Lebesgue'scher Zerlegungssatz:
Es seien [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] Maße auf [mm] $(\Omega,U)$. [/mm] Das Maß [mm] $\nu$ [/mm] sei endlich. Dann existieren
eindeutig bestimmte Maße [mm] $\nu_a$ [/mm] und [mm] $\nu_s$ [/mm] auf [mm] $(\Omega,U)$ [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
(i) [mm] $\nu_a<< \mu$ [/mm] (Absolutstetigkeit)
(ii) [mm] $\nu_s \bot \mu$ [/mm] (Singularität)
(iii) [mm] $\nu_a+\nu_s=\nu$.
[/mm]
Ok, nun sei das Maß [mm] $\nu$ $\sigma$-endlich, [/mm] d.h. es gibt eine Folge [mm] $(A_n)_n\subset [/mm] U$ mit
[mm] $\nu(A_n)<\infty$ [/mm] für alle $n$ und [mm] $\Omega=\bigcup_n A_n$.
[/mm]
Aber nun. Wie soll ich denn nun den alten Lebesgue'schen Satz ausnutzen?
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Siehe hier:
http://www.mat.univie.ac.at/~fh/math.pdf
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