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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 05.12.2010 | | Autor: | Lina0810 |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in B(\IR^d) [/mm] eine Borelmenge und c > 0. Zeigen Sie:
[mm] \lambda^d(c [/mm] * A)= [mm] c^d*\lambda^d(A). [/mm] |
ich grübel schon eine ganze Weile über diese Aufgabe nach und weiß einfach nicht Recht, wie ich beginnen soll.
Bisher weiß ich nur, dass es für halb offene Quader aus dem [mm] \IR^d [/mm] auf jeden Fall klar ist.. ist es doch, oder?
Denn:
Sei Q = [mm] ]a_{1}, b_{1}]x...x]a_{d}, b_{d}] [/mm] h.o.Q.
dann gilt (hoffentlich):
[mm] \lambda^d [/mm] (c*Q)= [mm] \lambda^d (c*(]a_{1}, b_{1}]x...x]a_{d}, b_{d}])) [/mm] = [mm] \lambda^d (c*]a_{1}, b_{1}]x...xc*]a_{d}, b_{d}]) [/mm] = [mm] c*(b_{1}-a_{1})*...*c*(b_{d}-a_{d}) [/mm] = [mm] c^d [/mm] * [mm] (b_{1}-a_{1})* [/mm] ... * [mm] (b_{d}-a_{d}) [/mm] = [mm] c^d*\lambda^d [/mm] (Q).
Aber wie kann ich es denn allgemein für Borelmengen zeigen??
(Da stellt sich mir gerade die Frage, ob es überhaupt richtig ist für h.o.Q.. sind die auch Borelmengen??)
Ein Tipp wäre wirklich sehr hilfreich..
lg
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei A [mm]\in B(\IR^d)[/mm] eine Borelmenge und c > 0. Zeigen Sie:
> [mm]\lambda^d(c[/mm] * A)= [mm]c^d*\lambda^d(A).[/mm]
> ich grübel schon eine ganze Weile über diese Aufgabe
> nach und weiß einfach nicht Recht, wie ich beginnen soll.
>
> Bisher weiß ich nur, dass es für halb offene Quader aus
> dem [mm]\IR^d[/mm] auf jeden Fall klar ist.. ist es doch, oder?
>
> Denn:
> Sei Q = [mm]]a_{1}, b_{1}]x...x]a_{d}, b_{d}][/mm] h.o.Q.
> dann gilt (hoffentlich):
> [mm]\lambda^d[/mm] (c*Q)= [mm]\lambda^d (c*(]a_{1}, b_{1}]x...x]a_{d}, b_{d}]))[/mm]
> = [mm]\lambda^d (c*]a_{1}, b_{1}]x...xc*]a_{d}, b_{d}])[/mm] =
> [mm]c*(b_{1}-a_{1})*...*c*(b_{d}-a_{d})[/mm] = [mm]c^d[/mm] * [mm](b_{1}-a_{1})*[/mm]
> ... * [mm](b_{d}-a_{d})[/mm] = [mm]c^d*\lambda^d[/mm] (Q).
Schreib's ein wenig besser auf: [mm] $\lambda^d(c [/mm] Q) = [mm] \lambda^d( [/mm] ]c [mm] a_1, [/mm] c [mm] b_1] \times \dots \times [/mm] [c [mm] a_d, [/mm] c [mm] b_d] [/mm] ) = (c [mm] a_1 [/mm] - c [mm] b_1) \cdots [/mm] (c [mm] a_d [/mm] - c [mm] b_d) [/mm] = [mm] c^d (a_1 [/mm] - [mm] b_1) \cdots (a_d [/mm] - [mm] b_d) [/mm] = [mm] c^d \lambda^d( ]a_1, b_1] \times \dots \times ]a_d, b_d]) [/mm] = [mm] c^d \lambda^d(Q)$.
[/mm]
> Aber wie kann ich es denn allgemein für Borelmengen
> zeigen??
Hattet ihr folgende Aussage?
Ist $A$ eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] und $B [mm] \subseteq [/mm] A$ eine Menge mit [mm] $\sigma(B) [/mm] = A$, und sind [mm] $\mu_1, \mu_2 [/mm] : A [mm] \to \IR$ [/mm] zwei Masse mit [mm] $\mu_1|_B [/mm] = [mm] \mu_2|_B$, [/mm] so ist [mm] $\mu_1 [/mm] = [mm] \mu_2$.
[/mm]
(Sozusagen ein Eindeutigkeitssatz fuer die Fortsetzung eines Masses.)
Damit geht es recht einfach:
Definiere auf [mm] $B(\IR^d)$ [/mm] die Masse [mm] $\mu_1 [/mm] : X [mm] \mapsto \lambda^d(c [/mm] X)$ und [mm] $\mu_2 [/mm] : X [mm] \mapsto c^d \lambda^d(X)$. [/mm] Du kannst recht einfach nachrechnen, dass beides Masse sind.
Jetzt bilden die halboffenen Quadrer ein Erzeugendensystem von [mm] $B(\IR^d)$. [/mm] Aus dem Satz oben folgt also: [mm] $\mu_1 [/mm] = [mm] \mu_2$ [/mm] auf ganz [mm] $B(\IR^d)$. [/mm] Einsetzen einer Menge $X [mm] \in B(\IR^d)$ [/mm] liefert das, was du zeigen sollst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:43 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Moin!
>
> > Sei A [mm]\in B(\IR^d)[/mm] eine Borelmenge und c > 0. Zeigen Sie:
> > [mm]\lambda^d(c[/mm] * A)= [mm]c^d*\lambda^d(A).[/mm]
> > ich grübel schon eine ganze Weile über diese Aufgabe
> > nach und weiß einfach nicht Recht, wie ich beginnen soll.
> >
> > Bisher weiß ich nur, dass es für halb offene Quader aus
> > dem [mm]\IR^d[/mm] auf jeden Fall klar ist.. ist es doch, oder?
> >
> > Denn:
> > Sei Q = [mm]]a_{1}, b_{1}]x...x]a_{d}, b_{d}][/mm] h.o.Q.
> > dann gilt (hoffentlich):
> > [mm]\lambda^d[/mm] (c*Q)= [mm]\lambda^d (c*(]a_{1}, b_{1}]x...x]a_{d}, b_{d}]))[/mm]
> > = [mm]\lambda^d (c*]a_{1}, b_{1}]x...xc*]a_{d}, b_{d}])[/mm] =
> > [mm]c*(b_{1}-a_{1})*...*c*(b_{d}-a_{d})[/mm] = [mm]c^d[/mm] * [mm](b_{1}-a_{1})*[/mm]
> > ... * [mm](b_{d}-a_{d})[/mm] = [mm]c^d*\lambda^d[/mm] (Q).
>
> Schreib's ein wenig besser auf: [mm]\lambda^d(c Q) = \lambda^d( ]c a_1, c b_1] \times \dots \times [c a_d, c b_d] ) = (c a_1 - c b_1) \cdots (c a_d - c b_d) = c^d (a_1 - b_1) \cdots (a_d - b_d) = c^d \lambda^d( ]a_1, b_1] \times \dots \times ]a_d, b_d]) = c^d \lambda^d(Q)[/mm].
>
> > Aber wie kann ich es denn allgemein für Borelmengen
> > zeigen??
>
> Hattet ihr folgende Aussage?
>
> Ist [mm]A[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra und [mm]B \subseteq A[/mm] eine Menge mit
> [mm]\sigma(B) = A[/mm], und sind [mm]\mu_1, \mu_2 : A \to \IR[/mm] zwei Masse
> mit [mm]\mu_1|_B = \mu_2|_B[/mm], so ist [mm]\mu_1 = \mu_2[/mm].
Hallo Felix,
der Erzeuger B muß aber noch ein paar Eigenschaften haben: B muß durschnittsstabil sein und es muß eine Folge [mm] (b_n) [/mm] in B geben mit:
[mm] \bigcup_{}^{}b_n [/mm] = X, wobei X die zugrunde liegende Mnege ist und [mm] \mu_1(b_n)< \infty [/mm] für jedes n
Der unten von Dir erwähnte Erzeuger (halboffene Quader) hat natürlich diese Eigenschaften.
Gruß FRED
>
> (Sozusagen ein Eindeutigkeitssatz fuer die Fortsetzung
> eines Masses.)
>
> Damit geht es recht einfach:
>
> Definiere auf [mm]B(\IR^d)[/mm] die Masse [mm]\mu_1 : X \mapsto \lambda^d(c X)[/mm]
> und [mm]\mu_2 : X \mapsto c^d \lambda^d(X)[/mm]. Du kannst recht
> einfach nachrechnen, dass beides Masse sind.
>
> Jetzt bilden die halboffenen Quadrer ein Erzeugendensystem
> von [mm]B(\IR^d)[/mm]. Aus dem Satz oben folgt also: [mm]\mu_1 = \mu_2[/mm]
> auf ganz [mm]B(\IR^d)[/mm]. Einsetzen einer Menge [mm]X \in B(\IR^d)[/mm]
> liefert das, was du zeigen sollst.
>
> LG Felix
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