Lebesgue/Riemann Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 So 03.09.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo Alle!
Wir haben in unserer Vorlesung folgenden Satz zum Vergleich von Riemann und Lebesgue Integralen aufgeschrieben:
[mm] $(X,\mathcal{A},\lambda)$ [/mm] Maßraum.
Im Folgenden sei [mm] $X=\IR$, $\mathcal{A}=\mathfrak{B}(\IR)$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] das eindimensionale Lebesguemaß auf [mm] $\mathfrak{B}(\IR)$. [/mm] Für eine Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] und [mm] $a,b\in \IR$ [/mm] mit [mm] $f\cdot \chi_{[a,b]} \in \textsuet{L}^1(\mu)$ [/mm] setze
[mm] $\int_a^b{f(t)\ \mathrm d\lambda(t)} [/mm] = [mm] \int_{[a,b]}{f\ \mathrm d\lambda} [/mm] = [mm] \int_{\IR}{f\chi_{[a,b]}\mathrm d\lambda}$
[/mm]
Offenbar lässt sich dieses Integral auch für Funktionen [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] definieren, indem wir $f$ mit dem Wert $0$ auf [mm] $\IR$ [/mm] fortsetzen.
(Abgesehen davon das ich das Lebesgue Intergral sowieso noch nicht richtig verstanden hab) Was ist denn gemeint mit der Fortstetzung auf [mm] $\IR$? [/mm] Und wieso gerade die Null? Wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte.
Grüße
Cruemel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 So 03.09.2006 | | Autor: | jbulling |
Hallo Cruemel,
ich nehme mal an, dass in Deinem Beispiel einfach angenommen wurde, dass f eine Funktion ist, die in 0 nicht definiert ist.
Wenn f lebesgue-integrierbar ist, dann gibt es zwei monoton wachsende Folgen von Treppenfunktionen [mm] (g_n)_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (h_n)_{n \in \IN}, [/mm] so dass gilt
f(x) := [mm] lim_{n \to \infty} g_n(x) [/mm] - [mm] lim_{n \to \infty} h_n(x)
[/mm]
falls Deine Funktion Problemstellen aufweist (z.B. in einem Punkt nicht definiert ist, oder eine Sprungstelle aufweist), dann reicht es grob gesprochen beim Lebesgue-Integral aus wenn Du zeigen kannst, dass diese Problemstelle in einer Nullmenge liegt und Deine Funktion ausserhalb dieser Nullmenge beschränkt ist. So eine Nullmenge wäre bei Dir das Intervall [0,0]. Du müsstest nur noch nach Definition zeigen, dass das auch eine Nullmenge ist und dass Deine Funktion ausserhalb dieser Nullmenge beschränkt ist.
Beim Riemann-Integral geht das in der Regel nicht so elegant. Es ist aber unter Umständen möglich eine Funktion fortzusetzen. D.h. Du konstruierst aus Deiner Funktion f eine Funktion [mm] f_2, [/mm] für die gilt, dass [mm] f_2 [/mm] in allen Punkten in denen f definiert ist, den selben Wert annimmt, wie f und definierst für die übrigen Punkte des Intervalls, über das Du integrierst, welche Werte [mm] f_2 [/mm] dort annimmt, so dass [mm] f_2 [/mm] in diesen Punkten stetig ist.
Nachdem Du eine solche Funktion [mm] f_2 [/mm] gefunden hast, kannst Du durch Grenzwertbildung zeigen, dass [mm] \integral_{-\varepsilon}^{\varepsilon}{f_2(x) dx} \to [/mm] 0 für [mm] \varepsilon \to [/mm] 0, Du also über die Problemstelle hinwegintegrieren kannst, ohne dass das Ergebnis dadurch verfälscht wird.
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Hallo.
> ich nehme mal an, dass in Deinem Beispiel einfach
> angenommen wurde, dass f eine Funktion ist, die in 0 nicht
> definiert ist.
Sieht für mich nicht danach aus. Das Riemann-integrable f war doch nur auf [a,b] definiert und [a,b] kann durchaus die 0 enthalten.
Mit 0 fortsetzen bedeutet bloß, an allen x, in denen f nicht a priori definiert ist, nämlich für [mm] $x\in(-\infty,a)\cup(b,\infty)$ [/mm] wird f(x)=0 gesetzt, so daß das Lebesgueintegral, was ja über ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist, dann mit dem Riemann-Integral übereinstimmt.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Mo 04.09.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo!
> ich nehme mal an, dass in Deinem Beispiel einfach
> angenommen wurde, dass f eine Funktion ist, die in 0 nicht
> definiert ist.
Definitiv nicht, sonst hätte unser Prof das dazu geschrieben.
Vielen Dank auf jeden Fall, ich glaub ich habs verstanden 
Grüße
Cruemel
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