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Hallo noch eine Frage
f [mm] :(0,\infty) \to [/mm] R, f(x)= [mm] \bruch{x}{x^{4}+1} [/mm] auf Lebesque integrierbarkeit überprüfen gegebenfalls die Integrale muss ich berechnen ich weiss ungeffähr wie ich vorgehen soll. Ich muss die Stammfunktion rechnen und mit einer Funktionsfolge überprüfen ob [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(n)=f(x) [/mm] . Aber Ich kann die Stammfunktion nicht rechnen und keine Funtionfolge finden die gegen f(x) konvergiert. Bitte um Hilfe
Danke im Voraus
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Hallo Ishak!
Tipp für die Bildung der Stammfunktion:
[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {f(x) \ dx} \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{x}{x^4+1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\blue{2}} [/mm] * [mm] \integral_{}^{} {\bruch{\blue{2}*x}{x^4+1} \ dx}$
[/mm]
Nun folgende Substitution:
$z \ := \ [mm] x^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ 2x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{2x}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter mit der Stammfunktion?
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo ishak!
Das mit der Funktionenfolge müsstest du noch einmal etwas genauer erklären.
Wegen
$0 [mm] \le \frac{x^4}{x^4+1} \le [/mm] 1$
gilt jedenfalls für alle $x>0$:
$0 [mm] \le \frac{x}{x^4+1} \le \frac{1}{x^3}$,
[/mm]
woraus die Lebesgue-Integrierbarkeit folgt (siehe mein anderer Beitrag zur [mm] $\Gamma$-Funktion).
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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