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| Aufgabe | Aus der Kugel [mm] $\left \{ (x,y,z) \in \IR^3 ; x^2+y^2+z^2 \le r^2 \right \}$ [/mm] in [mm] $\IR^3$ [/mm] wird der Durchschnitt mit jedem der beiden Zylinder [mm] $\left \{ (x,y,z) \in \IR^3 ; ( x + \frac{r}{2} )^2 + y^2\le ( \frac{r}{2})^2 \right \}$ [/mm] und [mm] $\left \{ (x,y,z) \in \IR^3 ; ( x - \frac{r}{2} )^2 + y^2 \le ( \frac{r}{2})^2 \right \}$ [/mm] entfernt.
Zeigen Sie, dass der Restkörper bzgl. des Lebesgue-Maßes [mm] $\emph{v}_3$ [/mm] messbar ist und berechnen Sie sein Volumen. |
Also irgendwie ists schon problematisch sich das ma eben vorzustellen.
Es handelt sich hier bei quasi um eine Kugel, nennen wir sie mal K, die von zwei unendlich Hohen, parallelen Zylindern durchstoßen wird. Als wenn eine Kugel durch zwei parallele "Stangen" durchbort wird.
Nehmen wir die beiden Zylinder (Stangen) weg bleibt eine Kugel mit Löchern übrig.
Soweit dazu.
Uff, warum sollte jetzt der Restkörper messbar sein? Gibts sowas wie, eine kompakte Menge ist Lebesgue-messbar?
Gruselig wirds dann beim ausrechnen des Volumens. Die Kugel ist klar. Davon müssen ja mehr oder minder die zwei Zylinder abgezogen werden. Allerdings entspricht das Volumen der Zylinder nicht genau der ausgestanzten Menge...
Ihr seht, ich komm nicht vorran.
Habt ihr Ideen?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
Liebe Grüße, Highchiller
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Hi highchiller,
> Aus der Kugel [mm]\left \{ (x,y,z) \in \IR^3 ; x^2+y^2+z^2 \le r^2 \right \}[/mm]
> in [mm]\IR^3[/mm] wird der Durchschnitt mit jedem der beiden
> Zylinder [mm]\left \{ (x,y,z) \in \IR^3 ; ( x + \frac{r}{2} )^2 + y^2\le ( \frac{r}{2})^2 \right \}[/mm]
> und [mm]\left \{ (x,y,z) \in \IR^3 ; ( x - \frac{r}{2} )^2 + y^2 \le ( \frac{r}{2})^2 \right \}[/mm]
> entfernt.
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> Zeigen Sie, dass der Restkörper bzgl. des Lebesgue-Maßes
> [mm]\emph{v}_3[/mm] messbar ist und berechnen Sie sein Volumen.
> Also irgendwie ists schon problematisch sich das ma eben
> vorzustellen.
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> Es handelt sich hier bei quasi um eine Kugel, nennen wir
> sie mal K, die von zwei unendlich Hohen, parallelen
> Zylindern durchstoßen wird. Als wenn eine Kugel durch zwei
> parallele "Stangen" durchbort wird.
> Nehmen wir die beiden Zylinder (Stangen) weg bleibt eine
> Kugel mit Löchern übrig.
> Soweit dazu.
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> Uff, warum sollte jetzt der Restkörper messbar sein? Gibts
> sowas wie, eine kompakte Menge ist Lebesgue-messbar?
In der Tat. Jede kompakte Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] ist abgeschlossen und alle abgeschlossenen Mengen sind (Borel-)messbar.
Nur ist deine Menge nicht abgeschlossen (es werden zwei abgeschlossene Zylinder entfernt...).
Der Restkörper R lässt sich jedoch leicht mit endlich vielen Schnitten, Komplementen, etc. aus Borel-messbaren Mengen darstellen. Damit folgt dann, dass R selbst Borel-messbar ist.
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> Gruselig wirds dann beim ausrechnen des Volumens. Die Kugel
> ist klar. Davon müssen ja mehr oder minder die zwei
> Zylinder abgezogen werden. Allerdings entspricht das
> Volumen der Zylinder nicht genau der ausgestanzten
> Menge...
Die Volumenberechnung ist in der Tat ohne viel Vorwissen nicht ganz einfach. ![[]](/images/popup.gif) Hier wird in Beispiel 3 erklärt, wie das Volumen des Viviani-Fensters zu berechnen ist. Damit lässt sich dann auch einfach das hier gesuchte Volumen berechnen.
LG
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> Ihr seht, ich komm nicht vorran.
> Habt ihr Ideen?
>
> Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
> Liebe Grüße, Highchiller
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