Lebesgue-integrierbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:51 Mo 14.02.2005 | | Autor: | baskolii |
Hallo!
Habe folgende Aufgabe:
Für welche [mm] \alpha,b\in\IR [/mm] sind folgende Funktionen Lebesgue-integrierbar?
a) f(x) = b
[mm] \quad [/mm] Also für b=0 ist f lebesgue-integrierbar und für alle anderen
[mm] \quad [/mm] nicht,
[mm] \quad [/mm] aber wie zeige ich, dass f für [mm] b\not= [/mm] 0 nicht Lebesgue-integrierbar ist?
b) g(x) = [mm] x^\alpha\chi_{]0,b[}
[/mm]
[mm] \quad [/mm] Ist für alle [mm] \alpha [/mm] und [mm] b\le\infty [/mm] Lebesgue-integrierbar, da g beschränkt
[mm] \quad [/mm] und die Menge der Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge ist.
c) h(x) = [mm] x^\alpha\chi_{]b,\infty[}
[/mm]
[mm] \quad [/mm] Lebesgue-integrierbar für [mm] \alpha=-1 [/mm] und [mm] b\ge [/mm] 0, da h beschränkt
[mm] \quad [/mm] und die Menge der Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge ist.
Ist das richtig so? Ich hab immer Probleme zu zeigen, dass eine Funktion nicht Lebesgue-integrierbar ist.
mfg Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mo 14.02.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Für welche [mm]\alpha,b\in\IR[/mm] sind folgende Funktionen
> Lebesgue-integrierbar?
Als erstes: intergrierbar über was? Über [mm]\IR[/mm]?
> a) f(x) = b
> [mm]\quad[/mm] Also für b=0 ist f lebesgue-integrierbar und für
> alle anderen
> [mm]\quad[/mm] nicht,
> [mm]\quad[/mm] aber wie zeige ich, dass f für [mm]b\not=[/mm] 0 nicht
> Lebesgue-integrierbar ist?
Wie habt ihr denn genau Lebesgue-integrierbarkeit definiert? Bei den Def., die ich kenne, reicht zu zeigen, daß [mm]\int_\IR |f| \mbox{d}x=\infty[/mm] ist. Und hierfür kann man ja insebsondere eine Ausschöpfung von [mm]\IR[/mm] nehmen, zB [mm][-n;n];n\in \IN[/mm]. und damit dann entsprechend den Grnezwert [mm]\lim_{n\to \infty}\int_{[-n;n]}|f| \mbox{d}x[/mm] bilden - das ist dan monotonme Konvergenz von unten. Damit sieht man die Behauptung sehr leicht ...
> b) g(x) = [mm]x^\alpha\chi_{]0,b[}
[/mm]
> [mm]\quad[/mm] Ist für alle [mm]\alpha[/mm] und [mm]b\le\infty[/mm]
> Lebesgue-integrierbar, da g beschränkt
Sicher nicht für [mm]b=\infty[/mm] ... aber wieso für andere? Für negative Alphas wird das ganze auch nicht beschränkt sein. Und dann: wieso ist es dann Lebesgue-int.bar? Die Beschränkheit reciht doch nicht, siehe deine a)!
> [mm]\quad[/mm] und die Menge der Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge
> ist.
Was leitest du daraus ab? Das zeigt doch die Meßbarkeitvon f - und das ist ja eh die Grundvorraussetzung, daß man überhaupt von Integrierbarkeit reden kann. (Ist das eigtl. ein notwendiges Kriterium?)
> c) h(x) = [mm]x^\alpha\chi_{]b,\infty[}
[/mm]
> [mm]\quad[/mm] Lebesgue-integrierbar für [mm]\alpha=-1[/mm] und [mm]b\ge[/mm] 0, da h
> beschränkt
> [mm]\quad[/mm] und die Menge der Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge
> ist.
Also Meßbar sind alle - fragt sich blos, wann das Integral Unendlich ist, und wann nicht. Die Beschränklheit hat hier nicht wirklich was zu tun, da die Intervalle ja "unedlich lang" sind. Deine Lösung ist ganz sicher falsch - da hier beim Integral der Logarithmus mitreinspielt, und das sowohl im Limes gege. 0 als auch gegen Unendlich jedesmal geg. Unendlich geht, nicht sehr praktisch, würde ich sagen ...
> Ist das richtig so? Ich hab immer Probleme zu zeigen, dass
> eine Funktion nicht Lebesgue-integrierbar ist.
Am geschiktesten ist bei b) und c) einfach uneigentlioche Konvergenz des alten Regel/Riemanintegrals zu testen - jedenfalls im positiven Bereich.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mo 14.02.2005 | | Autor: | baskolii |
> Hallo,
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> > Für welche [mm]\alpha,b\in\IR[/mm] sind folgende Funktionen
> > Lebesgue-integrierbar?
>
> Als erstes: intergrierbar über was? Über [mm]\IR[/mm]?
ja
>
> > a) f(x) = b
> > [mm]\quad[/mm] Also für b=0 ist f lebesgue-integrierbar und für
>
> > alle anderen
> > [mm]\quad[/mm] nicht,
> > [mm]\quad[/mm] aber wie zeige ich, dass f für [mm]b\not=[/mm] 0 nicht
> > Lebesgue-integrierbar ist?
>
> Wie habt ihr denn genau Lebesgue-integrierbarkeit
> definiert?
[mm] L^1(\phi)=\{f-g| f,g\in L_+^1(\phi)\} [/mm] (dabei sind die Ls jeweils kursiv, später haben wir noch ein unkursives L def.)
>Bei den Def., die ich kenne, reicht zu zeigen,
> daß [mm]\int_\IR |f| \mbox{d}x=\infty[/mm] ist. Und hierfür kann man
> ja insebsondere eine Ausschöpfung von [mm]\IR[/mm] nehmen, zB
> [mm][-n;n];n\in \IN[/mm]. und damit dann entsprechend den Grnezwert
> [mm]\lim_{n\to \infty}\int_{[-n;n]}|f| \mbox{d}x[/mm] bilden - das
> ist dan monotonme Konvergenz von unten. Damit sieht man die
> Behauptung sehr leicht ...
mmh, aber ich darf [mm] \int_\IR [/mm] |f| [mm] \mbox{d}x [/mm] doch gar nicht berechnen, bevor ich nicht weiß, dass es aus [mm] L^1 [/mm] (meine hier das kursive [mm] L^1) [/mm] ist, oder?
>
> > b) g(x) = [mm]x^\alpha\chi_{]0,b[}
[/mm]
> > [mm]\quad[/mm] Ist für alle [mm]\alpha[/mm] und [mm]b\le\infty[/mm]
> > Lebesgue-integrierbar, da g beschränkt
>
> Sicher nicht für [mm]b=\infty[/mm] ... aber wieso für andere? Für
ups, meinte [mm] b<\infty
[/mm]
> negative Alphas wird das ganze auch nicht beschränkt sein.
> Und dann: wieso ist es dann Lebesgue-int.bar? Die
> Beschränkheit reciht doch nicht, siehe deine a)!
>
> > [mm]\quad[/mm] und die Menge der Unstetigkeitsstellen eine
> Nullmenge
> > ist.
>
> Was leitest du daraus ab? Das zeigt doch die Meßbarkeitvon
> f - und das ist ja eh die Grundvorraussetzung, daß man
> überhaupt von Integrierbarkeit reden kann. (Ist das eigtl.
> ein notwendiges Kriterium?)
Aber ich dachte, da der Träger von g kompakt ist reicht Beschränktheit+Menge der Unstetigkeitstellen=Nullmenge?
>
> > c) h(x) = [mm]x^\alpha\chi_{]b,\infty[}
[/mm]
> > [mm]\quad[/mm] Lebesgue-integrierbar für [mm]\alpha=-1[/mm] und [mm]b\ge[/mm] 0,
> da h
> > beschränkt
> > [mm]\quad[/mm] und die Menge der Unstetigkeitsstellen eine
> Nullmenge
> > ist.
>
> Also Meßbar sind alle - fragt sich blos, wann das Integral
> Unendlich ist, und wann nicht. Die Beschränklheit hat hier
> nicht wirklich was zu tun, da die Intervalle ja "unedlich
> lang" sind. Deine Lösung ist ganz sicher falsch - da hier
> beim Integral der Logarithmus mitreinspielt, und das sowohl
> im Limes gege. 0 als auch gegen Unendlich jedesmal geg.
> Unendlich geht, nicht sehr praktisch, würde ich sagen ...
>
> > Ist das richtig so? Ich hab immer Probleme zu zeigen,
> dass
> > eine Funktion nicht Lebesgue-integrierbar ist.
>
> Am geschiktesten ist bei b) und c) einfach uneigentlioche
> Konvergenz des alten Regel/Riemanintegrals zu testen -
> jedenfalls im positiven Bereich.
Aber wenn die Funktion nicht Riemann/Regel-intbar heißt das doch nicht, dass sie nicht Lebesgue-intbar, oder?
Fragen über Fragen.
mfg Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 14.02.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]L^1(\phi)=\{f-g| f,g\in L_+^1(\phi)\}[/mm] (dabei sind die Ls
> jeweils kursiv, später haben wir noch ein unkursives L
> def.)
Und wie das [mm]L_+[/mm]? Ich kenne das vor allem in Zerlegung des Positiv- und Negativanteils. Damit ist dann meine Behauptung mit den Betrag dann auch sehr leicht nachvollziehbar.
> mmh, aber ich darf [mm]\int_\IR[/mm] |f| [mm]\mbox{d}x[/mm] doch gar nicht
> berechnen, bevor ich nicht weiß, dass es aus [mm]L^1[/mm] (meine
> hier das kursive [mm]L^1)[/mm] ist, oder?
Ich kenne das anders - für positive, meßbare Funktionen, kann man auch den Wert Unendlich zulassen, und ebend damit testen, ob die Funktion integrierbar ist.
> Aber ich dachte, da der Träger von g kompakt ist reicht
> Beschränktheit+Menge der Unstetigkeitstellen=Nullmenge?
Ja, ich hab ja auch nicht das Gegenteil behauptet. Mir kommt das blos in der Reihenfolge komisch vor - wenn die Funktion nicht meßbar ist, kann man kein Integral definieren, also muss man das als erstes testen (und bis auf Nullmenge stetie Funktionen scheinen das zu machen). Dann muss man sich überlegen, warum sie integrierbar sind - und hier kann man den Betrag der Funktion nach oben durch car. Funktion abschätzen, da die Funktion ja beschränkt. Da der Träger kompakt, ist dann das Integral endlich.
> Aber wenn die Funktion nicht Riemann/Regel-intbar heißt das
> doch nicht, dass sie nicht Lebesgue-intbar, oder?
Nein, dass nicht. Aber jede (auf Kompakta) Regel/Rieman int.bare Funktion, ist auch Lebegue int.bar. Bei uneigentlicher Konvergenz (zB gegen Unendlich) muss man bei Regel/Rieman absolute Konvergenz vorraussetzen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Verena!
Ist dir die Aufgabe jetzt klar? Wenn nicht, dann frage bitte nach... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Di 15.02.2005 | | Autor: | baskolii |
Ja, so halbwegs ist mir das jetzt klar.
Also jede Lebesgue-intbare Funktion ist uneigentlich regelintbar und da |f| auch Lebesgue-intbar muss |f| ebenfalls uneigentlich regelintbar sein. Das meinte SEcki mit absoluter Konvergenz, oder?
mfg Verena
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