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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mo 26.01.2015 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Gib die Lebesgue-Maß folgende Menge
(1) [mm] A=\{(x,y)\in \IR^2;x^2\le y^2\le 1\}
[/mm]
(2) [mm] B=\{(x,y)\in\IR^2;\bruch{1}{2}\le x^2+y^2\le 1\} [/mm] |
hallo
die lösung sind gegeben
(1) lebesgue-maß [mm] \lambda(A)=2
[/mm]
(2) lebesgue-maß [mm] \lambda(B)=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
meine fragen wie berechnet man allg. den lebesgue-maß
diese aufgaben habe ich im Internet gefunden und dienen nur für mich zur klausurvorbereitung.
also zu (2) habe ich folg. überlegt:
erstmal habe ich [mm] \lambda(B)=\pi\cdot r^2 [/mm] (dabei ist r=1, weil ist das volumen des kreis mir radius r vorliegen habe, oder? )
[mm] \Rightarrow \lambda(B)=\pi
[/mm]
dann habe ich das Integral davon berechnet
[mm] \integral_{1/2}^{1}{\lambda(B) d\lambda}=\integral_{1/2}^{1}{\pi d\lambda}=\pi-\bruch{\pi}{2}=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
ist es richtig was ich da überlegt habe?
wie mach ich es bei (1)?
dankeschön im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Jodocus |
Deine Rechnung ist unklar. Wieso integrierst du das Maß auf einmal? Das stimmt so nicht.
Aus der Definition des Lebesgue-Integrals weißt du ganz schnell:
[mm]\lambda(A) = \int\limits_{\mathbb{R}^2} \mathbf{1}_{A}(x) d\lambda(x)[/mm]
[mm] \mathbf{1}_{A}[/mm] ist die charakteristische Funktion. Ergo, du integrierst einfach (per Riemann) die 1 über die gegebenen Mengen. Es ist hilfreich, dir einfach mal auf zu malen, wie die Mengen/Intervalle im 2D-Koordinatensystem liegen, dann siehst du auch ganz schnell, wie du die Fläche teilen kannst und welche Grenzen du für die Integration wählen solltest (bzw. kannst mehr oder weniger schon die Ergebnisse ablesen, ganz ohne zu integrieren).
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