Lebesgue-Int. ausrechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm]\{ a_{k} \}, k=1... \infty, \; eine \; streng \; monoton \; steigende, \;unbeschraenkte \;Folge \;reeller \;Zahlen [/mm] [mm]\;und \;\{ b_{k} \}, k=1... \infty, eine \;Folge \;positiver \;reeller \;Zahlen. \;Die \;Verteilungsfunktion \;\alpha: \IR -> \IR \; [/mm] [mm] sei \;gegeben \;durch \;\alpha(x):= \summe_{l=1}^{k} b_{l} \;falls\; x \in [a_{k}, a_{k+1}), k \in \IN \;und \;\alpha(x):= 0 \;falls \;x < a_{1}. \; [/mm] [mm]\mu \; bezeichne \;das \;durch \;\alpha \;erzeugte \;Mass \;auf \;der \;Potenzmenge \;von \;\IR. [/mm]
Aufgabe:
Gib notwendige und hinreichende Bedingungen dafür an, dass [mm] f: \IR -> \IR \cup \{ \pm \infty \} \; \mu-integrierbar \; ist. [/mm]
Berechne dann für den Spezialfall [mm]a_{n}=n, b_{n}=1, n \in \IN, und \; f(x):= 2^{-x}, x \in \IR, \; das \; Integral \integral_{\IR}^{}{f(x) d \mu}
[/mm]
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Hallo!
falls jemand Zeit und Lust hat, wäre ich für Hilfe bei der Aufgabe sehr dankbar.
Ansich scheint mir das nicht so schwierig, aber ich komme mit dem Lebesgue-Integral noch nicht ganz klar. Zunächst würde ich gerne mal den Spezialfall ausrechnen. Vermutlich kommt wohl irgendeine Reihe raus, geom. Reihe o.ä., aber ich schaffe es nicht von der Definition des Lebesgue-Integrals
sup [mm] \{ \integral_{}^{}{s(x) d\mu} \;| \; s \; elementar \;und \; 0 \le s \le f \} [/mm] auf so eine Reihe zu schließen. Die Definition ist irgendwie unhandlich. Was kann man da machen?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß drjonezay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 27.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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