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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:52 Sa 10.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, also ich habe folgenden Satz bewiesen:
Seien H ein Hilbertraum und s : H × H → K eine stetige Sesquilinearform, d.h.
∃ C ≥ 0 ∀ x, y ∈ H : |s(x, y)| ≤ [mm] C\lVert x\rVert \lVert y\rVert.
[/mm]
(i) Es existiert genau ein Operator S ∈ L(H), für den gelten
[mm] \lVert S\rVert\leq [/mm] C und s(x, y) = [mm] \langle [/mm] x, [mm] Sy\rangle, [/mm] x, y ∈ H
Und zwar hab ich es so wie ![[]](/images/popup.gif) hier. S. 81 beweisen.
Jetzt lese ich auf dem aktuellen Übungsblatt, dass man die gleiche Aussage beweisen soll, nur steht da in der Aussage, dass [mm] $s(x,y)=\langle Sx,y\rangle$ [/mm] gelten soll.
Wie mache ich das jetzt, wo es so umgedreht im Skalarprodukt steht?! |
...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Sa 10.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, es gilt
$ [mm] \lVert S\rVert\leq [/mm] $ C und s(x, y) = $ [mm] \langle [/mm] $ x, $ [mm] Sy\rangle, [/mm] $ x, y ∈ H
Dann gilt: s(x, y) = $ [mm] \langle [/mm] $ [mm] S^{\star}x, [/mm] $ [mm] y\rangle, [/mm] $ x, y ∈ H und [mm] ||S||=||S^{\star}||
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Sa 10.11.2012 | | Autor: | mikexx |
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> Dann gilt: s(x, y) = [mm]\langle[/mm] [mm]S^{\star}x,[/mm] [mm]y\rangle,[/mm] x, y
> ∈ H und [mm]||S||=||S^{\star}||[/mm]
>
Aber was kann ich dann damit anfangen?
Man hat ja dann [mm] $s(x,y)=\langle x,Sy\rangle=\langle S^{\star}x,y\rangle$. [/mm] Aber was sagt einem das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> >
> > Dann gilt: s(x, y) = [mm]\langle[/mm] [mm]S^{\star}x,[/mm] [mm]y\rangle,[/mm] x, y
> > ∈ H und [mm]||S||=||S^{\star}||[/mm]
> >
>
> Aber was kann ich dann damit anfangen?
>
> Man hat ja dann [mm]s(x,y)=\langle x,Sy\rangle=\langle S^{\star}x,y\rangle[/mm].
> Aber was sagt einem das?
Du hast bewiesen, daß es genau ein $S$ gibt mit $s(x, y) = [mm] \langle [/mm] x, [mm] Sy\rangle$ [/mm] und [mm] $\|S\| [/mm] < C$. Nach FREDs Hinweis gibt es genau ein stetiges $T$ mit $s(x, y) [mm] =\langle [/mm] x, [mm] Sy\rangle= \langle [/mm] Tx, [mm] y\rangle\,,$ [/mm] nämlich [mm] $T=S^\star\,.$ [/mm] Besser ist es natürlich, Deinen Beweis an die veränderte Behauptung anzupassen. Dies sollte nicht zu schwierig sein.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Sa 10.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Ja, es wäre schon schöner, den Beweis anzupassen.
Ich scheitere aber daran:
Ich würde ja dann z.B. [mm] $s_x(y)=s(x,y)$ [/mm] anstelle von [mm] $s_y(x):=s(x,y)$ [/mm] betrachten.
Aber m.E. wäre dann [mm] $s_x$ [/mm] nicht linear, oder?
Ich erhalte jedenfalls nur [mm] $s_x(ay_1+by_2)=\overline{a} s_x(y_1)+\overline{b}s_x(y_2)$
[/mm]
und schon komme ich in dem Beweis nach der Verlinkung nicht weiter, denn um den Beweis analog zu führen, müsste ja [mm] $s_x$ [/mm] linear sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ja, es wäre schon schöner, den Beweis anzupassen.
> Ich scheitere aber daran:
>
> Ich würde ja dann z.B. [mm]s_x(y)=s(x,y)[/mm] anstelle von
> [mm]s_y(x):=s(x,y)[/mm] betrachten.
>
>
> Aber m.E. wäre dann [mm]s_x[/mm] nicht linear, oder?
>
> Ich erhalte jedenfalls nur [mm]s_x(ay_1+by_2)=\overline{a} s_x(y_1)+\overline{b}s_x(y_2)[/mm]
Ja, das geht so wohl nicht. Aber was ist mit [mm] $s_x(y) [/mm] = s(x, [mm] \overline y)\,?$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Sa 10.11.2012 | | Autor: | mikexx |
probiere ich morgen mal aus, danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 So 11.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Linearität hab ich hinbekommen.
Und Stetigkeit ist
[mm] $\lVert s_y\rVert\leq M\lVert x\rVert\lVert\overline{y}\rVert$?[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Linearität hab ich hinbekommen.
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> Und Stetigkeit ist
>
> [mm]\lVert s_y\rVert\leq M\lVert x\rVert\lVert\overline{y}\rVert[/mm]?
Ja! Ich glaube es ist [mm] $\|\overline y\| [/mm] = [mm] \| [/mm] y [mm] \|$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Du klebst zu sehr an Bezeichnungen. Wir machen das mal so:
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(i) Es existiert genau ein Operator A ∈ L(H), für den gelten
$ [mm] \lVert A\rVert\leq [/mm] $ C und s(x, y) = $ [mm] \langle [/mm] $ x, $ [mm] Ay\rangle, [/mm] $ x, y ∈ H
(ii) Es existiert genau ein Operator B ∈ L(H), für den gelten
$ [mm] \lVert B\rVert\leq [/mm] $ C und s(x, y) = $ [mm] \langle [/mm] $ Bx, $ [mm] y\rangle, [/mm] $ x, y ∈ H
Beweis:
Aus (i) folgt (ii): setze [mm] B=A^{\star}.
[/mm]
Aus (ii) folgt (i): [mm] A=B^{\star}.
[/mm]
Beachte hierbei: [mm] ||B||=||A^{\star}||.
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:27 So 11.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielen lieben Dank für diese Antwort, jetzt weiß ich, dass ich bedenkenlos einfach den Satz für [mm] $s(x,y)=\langle x,Ay\rangle$ [/mm] zeigen kann.
Dennoch würde mich interessieren, ob man den Beweis nicht auch DIREKT führen kann, also ohne den adjungierten Operator jeweils ins Spiel zu bringen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 13.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 12.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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