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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Di 16.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie [mm] f(z) : = \bruch{1}{z(z-1)^3} [/mm] als eine Laurentreihe in [mm] K_{0,1} (1) [/mm]. |
Hallo alle zusammen!
Bei dieser Aufgabe habe ich Probleme damit die Laurentreihe um 1 zu entwickeln. Bis jetzt haben wir immer um 0 entwickelt und nun habe ich Schwierigkeiten damit...
Also:
[mm] f(z) = = \bruch{1}{z(z-1)^3} = \bruch{1}{z} \bruch{1}{(z-1)^3} \\
[/mm]
Ich weiß, dass
[mm] \bruch{1}{(z-1)^3} = \bruch{1}{2} ( \bruch{1}{z-1} )'' [/mm]
Aber wie gehe ich weiter vor... Steh im Moment total auf dem Schlauch!
Würde mich riesig über Hilfe freue!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruß Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Di 16.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen,
> Entwickeln Sie [mm]f(z) : = \bruch{1}{z(z-1)^3}[/mm] als eine
> Laurentreihe in [mm]K_{0,1} (1) [/mm].
> Hallo alle zusammen!
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich Probleme damit die Laurentreihe
> um 1 zu entwickeln. Bis jetzt haben wir immer um 0
> entwickelt und nun habe ich Schwierigkeiten damit...
Du willst doch [mm]f(z)[/mm] durch lauter Terme mit [mm](z-1)^n[/mm] ausdrücken. Daher musst du alle Teile, die nicht schon diese Form haben, dazu umformen. Die einfachste Methode ist [mm]z=(z-1)+1[/mm] zu schreiben und danach die Formel geschickt umzustellen:
[mm] \bruch{1}{z(z-1)^3} = \bruch{1}{(z-1)^3} \bruch{1}{z}= \bruch{1}{(z-1)^3} \bruch{1}{(z-1)-1} = -\bruch{1}{(z-1)^3} \bruch{1}{1-(z-1)} = \bruch{1}{(z-1)^3} * \textbf{?}[/mm].
Kannst du das Fragezeichen selbst richtig einsetzen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 16.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Rainer!
Also, ich denke, dass es so weitergeht:
[mm] - \bruch{1}{(z-1)^3} \bruch{1}{1-(z-1)} = \bruch{1}{(z-1)^3} \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^n (z-1)^n [/mm]
Richtig so ?
Und wenn ich jetzt dieselbe Funktion um [mm] K_ {1, \infty}(1) [/mm] entwickeln möchte, wie gehe ich dann vor ? Dann muss ich doch bei dem Term [mm] \bruch{1}{1-(z-1)} [/mm] ein [mm] \bruch{1}{z} [/mm] auklammern, richtig? Und was passiert mit [mm] - \bruch{1}{(z-1)^3} [/mm] ? Da muss ich doch auch was verändert, denn so konvergiert das doch nur für [mm] <1 [/mm] .
Vielen Dank für die Hilfe!
Gruß Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Di 16.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Also, ich denke, dass es so weitergeht:
>
> [mm]- \bruch{1}{(z-1)^3} \bruch{1}{1-(z-1)} = \bruch{1}{(z-1)^3} \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^n (z-1)^n[/mm]
>
> Richtig so ?
Fast 
Du hast das Minuszeichen ganz links vergessen, und bei der Entwicklung zuviele Minusse:
[mm] \bruch{1}{1-q} = \summe_{n=0}^{ \infty} q^n \implies \bruch{1}{1-(z-1)} = \summe_{n=0}^{ \infty} (z-1)^n[/mm]
Damit bekommst du:
[mm]f(z) = - \summe_{n=-3}^{\infty} (z-1)^n[/mm] .
> Und wenn ich jetzt dieselbe Funktion um [mm]K_ {1, \infty}(1)[/mm]
> entwickeln möchte, wie gehe ich dann vor ? Dann muss ich
> doch bei dem Term [mm]\bruch{1}{1-(z-1)}[/mm] ein [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
> auklammern, richtig? Und was passiert mit [mm]- \bruch{1}{(z-1)^3}[/mm]
> ? Da muss ich doch auch was verändert, denn so konvergiert
> das doch nur für [mm]<1[/mm] .
Richtig, eine Laurentreihe konvergiert im größten Kreisring, in dem keine Singularität liegt. Da f(z) Pole bei 0 und 1 hat, hast du eine Reihenentwicklung in [mm]K_{0,1}(1)[/mm] und eine in [mm]K_{1, \infty}(1)[/mm].
In [mm]K_{1, \infty}(1)[/mm] würde ich es so schreiben:
[mm]f(z) = \bruch{1}{(z-1)^3} \bruch{1}{z} = \bruch{1}{(z-1)^3} \bruch{1}{(z-1)+1} = \bruch{1}{(z-1)^3} \bruch{1}{(z-1)(1+\bruch{1}{z-1})} = \bruch{1}{(z-1)^4} \bruch{1}{1+\bruch{1}{z-1}} = \bruch{1}{(z-1)^4} \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\bruch{1}{z-1}\right)^n[/mm]
Die Summe konvergiert für [mm]|z|>1[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Di 16.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
1000 Dank Rainer!
Viele Grüße
Irmchen
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