Laurentreihe gesucht < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 So 21.12.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktion [mm] f(z)=\left( \bruch{1}{1-z^2} \right) [/mm] in den folgenden Gebieten in eine Laurentreihe:
a) 0<|z-1|<2 b) 2<|z-3|<4 |
Hallo,
ich habe versucht, eine entsprechende Reihe über die geometrische Reihe zu erzeugen, jedoch ohne Erfolg. Alle Reihen, die ich bis jetzt gefunden habe, gelten für |z|<1 bzw.|z|>1, wie z.B. [mm] \sum_{k=0}^{\infty} (z^2)^k. [/mm] Ich habe es auch schon mit Partialbruchzerlegung versucht.
Wie komme ich auf eine Reihe für die gegebenen Gebiete? Hat jemand von euch eine Idee?
Gruß DerGraf
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 So 21.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Entwickeln Sie die Funktion [mm]f(z)=\left( \bruch{1}{1-z^2} \right)[/mm]
> in den folgenden Gebieten in eine Laurentreihe:
>
> a) 0<|z-1|<2 b) 2<|z-3|<4
> Hallo,
> ich habe versucht, eine entsprechende Reihe über die
> geometrische Reihe zu erzeugen, jedoch ohne Erfolg. Alle
> Reihen, die ich bis jetzt gefunden habe, gelten für |z|<1
> bzw.|z|>1, wie z.B. [mm]\sum_{k=0}^{\infty} (z^2)^k.[/mm] Ich habe
> es auch schon mit Partialbruchzerlegung versucht.
> Wie komme ich auf eine Reihe für die gegebenen Gebiete?
> Hat jemand von euch eine Idee?
Mach erst eine Partialbruchzerlegung und schau dir dann beide Summanden einzelnd an.
Wenn du z.B. [mm] $\frac{1}{1 - z}$ [/mm] um $z = 3$ entwickeln moechtest, hast du zwei Moeglichkeiten:
1) [mm] $\frac{1}{1 - z} [/mm] = [mm] \frac{1}{-2 - (z - 3)} [/mm] = (-1/2) [mm] \cdot \frac{1}{1 - (-1/2) (z - 3)} [/mm] = (-1/2) [mm] \sum_{n=0}^\infty (-1/2)^n [/mm] (z - [mm] 3)^n$; [/mm] dies konvergiert fuer $|(-1/2) (z - 3)| < 1$, also $|z - 3| < 2$.
2) [mm] $\frac{1}{1 - z} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z - 3} \cdot \frac{1 - (-2)/(z - 3)} [/mm] = [mm] -\frac{1}{z - 3} \sum_{n=0}^\infty (-2)^n [/mm] (z - [mm] 3)^{- n} [/mm] = [mm] -\sum_{n=1}^\infty (-2)^{n - 1} [/mm] (z - [mm] 3)^{-n}$, [/mm] und dies konvergier fuer $|(-2) / (z - 3)| < 1$, also fuer $2 < |z - 3|$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 So 21.12.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] \bruch{1}{1-z^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}\right)=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{-2-(z-3)}+\bruch{1}{4-(-z+3)}\right)=\bruch{1}{2}\left(\left( -\bruch{1}{2} \right)\bruch{1}{1-\left( -\bruch{1}{2} \right)(z-3)}+\left( \bruch{1}{4} \right)\bruch{1}{1-\left( \bruch{1}{4} \right)(-z+3)}\right)=\left( \bruch{1}{2} \right)\left( \left( -\bruch{1}{2} \right)\sum_{k=-\infty}^{0} \left( -\bruch{1}{2} \right)^k(z-3)^k+\left( \bruch{1}{4} \right)\sum_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{4} \right)^k(-z+3)^k\right)
[/mm]
Damit dürfte b) gelöst sein.
Nun zu a)
[mm] \bruch{1}{1-z^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}\right)=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{0-(z-1)}+\bruch{1}{2-(-z+1)}\right)=?
[/mm]
Die 0 in dem linken Summanden kann ich mit Erweitern oder Kürzen nicht auf 1 bringen, womit der Trick leider nicht funktioniert. Was soll ich tun?
Lieben Gruß DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 Mo 22.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nun zu a)
>
> [mm]\bruch{1}{1-z^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}\right)=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{0-(z-1)}+\bruch{1}{2-(-z+1)}\right)=?[/mm]
>
> Die 0 in dem linken Summanden kann ich mit Erweitern oder
> Kürzen nicht auf 1 bringen, womit der Trick leider nicht
> funktioniert.
Wozu willst du das? [mm] $\bruch{1}{1-z}$ [/mm] ist für [mm] $z\not=1$, [/mm] also für $0<|z-1|$ definiert. Die Entwicklung des zweiten Summanden in die geometrische Reihe gilt für $|z-1|<2$.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 02:11 Mo 22.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
>
> [mm]\bruch{1}{1-z^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}\right)=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{-2-(z-3)}+\bruch{1}{4-(-z+3)}\right)=\bruch{1}{2}\left(\left( -\bruch{1}{2} \right)\bruch{1}{1-\left( -\bruch{1}{2} \right)(z-3)}+\left( \bruch{1}{4} \right)\bruch{1}{1-\left( \bruch{1}{4} \right)(-z+3)}\right)=\left( \bruch{1}{2} \right)\left( \left( -\bruch{1}{2} \right)\sum_{k=-\infty}^{0} \left( -\bruch{1}{2} \right)^k(z-3)^k+\left( \bruch{1}{4} \right)\sum_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{4} \right)^k(-z+3)^k\right)[/mm]
Der erste Summand ist nicht korrekt entwickelt. Wie kommst du auf negative Potenzen von $(z-3)$? Die Summe läuft von k=0 bis [mm] $\infty$. [/mm]
Wichtig ist es, sich klarzumachen, welche Singularitäten die Funktion [mm] $\bruch{1}{1-z^2}$ [/mm] hat. Nach deiner Entwicklung hätte die Funktion eine wesentliche Singularität an der Stelle z=3. Das ist offensichtlich falsch, denn sie hat nur zwei Pole 1. Ordnung bei +1 und -1.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mo 22.12.2008 | | Autor: | DerGraf |
Aber dann wäre doch:
|(-1/2)(z-3)|=1/2*|z-3|<1, also |z-3|<2 nach den Regeln für die geometrische Reihe. Ich will aber |z-3|>2 haben, was ich mit dem negativen Exponenten erreiche. Wo liegt hier mein Denkfehler?
Gruß DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mo 22.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Aber dann wäre doch:
>
> |(-1/2)(z-3)|=1/2*|z-3|<1, also |z-3|<2 nach den Regeln für
> die geometrische Reihe. Ich will aber |z-3|>2 haben, was
> ich mit dem negativen Exponenten erreiche. Wo liegt hier
> mein Denkfehler?
Du hast keinen Denkfehler: die Reihe konvergiert nicht fuer $|z - 3| < 2$, definiert also keine Funktion die in $3$ eine wesentliche Singularitaet hat. Die Reihe definiert nur eine Funktion auf [mm] $\{ z \mid |z - 3| > 2 \}$, [/mm] die dort identisch ist mit der gegebenen rationalen Funktion.
Wenn dagegen die Reihe auch fuer beliebig kleine $|z - 3|$ konvergieren wuerde, dann haette es dort eine wesentliche Singularitaet und wir haetten einen Widerspruch.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mo 22.12.2008 | | Autor: | DerGraf |
Hallo,
also hatte ich mit dem negativen Exponenten recht und die Lösung lautet dann nach wie vor:
$ [mm] \bruch{1}{1-z^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}\right)=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{-2-(z-3)}+\bruch{1}{4-(-z+3)}\right)=\bruch{1}{2}\left(\left( -\bruch{1}{2} \right)\bruch{1}{1-\left( -\bruch{1}{2} \right)(z-3)}+\left( \bruch{1}{4} \right)\bruch{1}{1-\left( \bruch{1}{4} \right)(-z+3)}\right)=\left( \bruch{1}{2} \right)\left( \left( -\bruch{1}{2} \right)\sum_{k=-\infty}^{0} \left( -\bruch{1}{2} \right)^k(z-3)^k+\left( \bruch{1}{4} \right)\sum_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{4} \right)^k(-z+3)^k\right) [/mm] $
Lieben Gruß DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mo 22.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> also hatte ich mit dem negativen Exponenten recht und die
> Lösung lautet dann nach wie vor:
>
> [mm]\bruch{1}{1-z^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}\right)=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{-2-(z-3)}+\bruch{1}{4-(-z+3)}\right)=\bruch{1}{2}\left(\left( -\bruch{1}{2} \right)\bruch{1}{1-\left( -\bruch{1}{2} \right)(z-3)}+\left( \bruch{1}{4} \right)\bruch{1}{1-\left( \bruch{1}{4} \right)(-z+3)}\right)=\left( \bruch{1}{2} \right)\left( \left( -\bruch{1}{2} \right)\sum_{k=-\infty}^{0} \left( -\bruch{1}{2} \right)^k(z-3)^k+\left( \bruch{1}{4} \right)\sum_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{4} \right)^k(-z+3)^k\right)[/mm]
Nicht ganz, denn die erste Summe geht nur bis k=-1.
[mm] \bruch{1}{1-z} = \left(-\bruch{1}{2} \right)\bruch{1}{1-\left( -\bruch{1}{2} \right)(z-3)}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Damit du dies für $\left|\left( -\bruch{1}{2} \right)(z-3)\right| > 1 \gdw |z-3| >2 $ in eine geometrische Reihe entwickeln kannst, muss du umformen.
Setze $q= -\bruch{1}{2} \right)(z-3)$, dann ist dein zu entwicklender Term $-\bruch{1}{2} \bruch{1}{1-q}$ und
[mm] \bruch{1}{1-q} = -\bruch{1}{q}\bruch{1}{1-1/q} = -\bruch{1}{q} \summe_{k=0}^\infty q^{-k} = - \summe_{k=1}^\infty q^{-k} = -\summe_{k=-\infty}^{-1} q^{k}[/mm].
Durch Einsetzen hast du:
[mm]\bruch{1}{1-z} = -\bruch{1}{2} \bruch{1}{1-q}=\bruch{1}{2} \summe_{k=-\infty}^{-1} \left(-\bruch{1}{2} \right)^k (z-3)^k [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mo 22.12.2008 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich bin jetzt mit der Aufgabe fertig. :)
Gruß DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:19 Mo 22.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Rainer,
> [mm]\bruch{1}{1-z^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}\right)=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{-2-(z-3)}+\bruch{1}{4-(-z+3)}\right)=\bruch{1}{2}\left(\left( -\bruch{1}{2} \right)\bruch{1}{1-\left( -\bruch{1}{2} \right)(z-3)}+\left( \bruch{1}{4} \right)\bruch{1}{1-\left( \bruch{1}{4} \right)(-z+3)}\right)=\left( \bruch{1}{2} \right)\left( \left( -\bruch{1}{2} \right)\sum_{k=-\infty}^{0} \left( -\bruch{1}{2} \right)^k(z-3)^k+\left( \bruch{1}{4} \right)\sum_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{4} \right)^k(-z+3)^k\right)[/mm]
>
> Der erste Summand ist nicht korrekt entwickelt. Wie kommst
> du auf negative Potenzen von [mm](z-3)[/mm]? Die Summe läuft von k=0
> bis [mm]\infty[/mm].
Ob die Reihe jetzt im Detail stimmt hab ich nicht ueberprueft. Aber:
> Wichtig ist es, sich klarzumachen, welche Singularitäten
> die Funktion [mm]\bruch{1}{1-z^2}[/mm] hat. Nach deiner Entwicklung
> hätte die Funktion eine wesentliche Singularität an der
> Stelle z=3. Das ist offensichtlich falsch, denn sie hat nur
> zwei Pole 1. Ordnung bei +1 und -1.
Seine Reihe konvergiert nicht in einer Umgebung von $z = 3$, womit sie nicht notwendigerweise darauf schliessen laesst, dass eine holomorphe Fortsetzung der durch die Reihe definierten Funktion in $z = 3$ eine wesentliche Singularitaet hat.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:55 Mo 22.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Felix!
> Hallo Rainer,
>
> >
> [mm]\bruch{1}{1-z^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-z}+\bruch{1}{1+z}\right)=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{-2-(z-3)}+\bruch{1}{4-(-z+3)}\right)=\bruch{1}{2}\left(\left( -\bruch{1}{2} \right)\bruch{1}{1-\left( -\bruch{1}{2} \right)(z-3)}+\left( \bruch{1}{4} \right)\bruch{1}{1-\left( \bruch{1}{4} \right)(-z+3)}\right)=\left( \bruch{1}{2} \right)\left( \left( -\bruch{1}{2} \right)\sum_{k=-\infty}^{0} \left( -\bruch{1}{2} \right)^k(z-3)^k+\left( \bruch{1}{4} \right)\sum_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{4} \right)^k(-z+3)^k\right)[/mm]
>
> >
> > Der erste Summand ist nicht korrekt entwickelt. Wie kommst
> > du auf negative Potenzen von [mm](z-3)[/mm]? Die Summe läuft von k=0
> > bis [mm]\infty[/mm].
>
> Ob die Reihe jetzt im Detail stimmt hab ich nicht
> ueberprueft.
Sie stimmt nicht, denn die erste Summe geht nur bis k=-1.
> Aber:
>
> > Wichtig ist es, sich klarzumachen, welche Singularitäten
> > die Funktion [mm]\bruch{1}{1-z^2}[/mm] hat. Nach deiner Entwicklung
> > hätte die Funktion eine wesentliche Singularität an der
> > Stelle z=3. Das ist offensichtlich falsch, denn sie hat nur
> > zwei Pole 1. Ordnung bei +1 und -1.
>
> Seine Reihe konvergiert nicht in einer Umgebung von [mm]z = 3[/mm],
> womit sie nicht notwendigerweise darauf schliessen laesst,
> dass eine holomorphe Fortsetzung der durch die Reihe
> definierten Funktion in [mm]z = 3[/mm] eine wesentliche
> Singularitaet hat.
Du hast natürlich recht.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:07 Mo 22.12.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ok, jetzt hab ich es geschnallt. Danke für deine Hilfe.
Gruß DerGraf
|
|
|
|
