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| Aufgabe | Notieren Sie für die folgende Funktion die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] der entsprechenden Potenzreihe oder Laurentreihe [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-2)^n [/mm] um den Reihenmittelpunkt 2:
f(z)= [mm] \frac{2z^2-3z}{(z-2)^2} [/mm] |
Hallo,
ich habe eine ähnliche Aufgabe bereits gemacht. Hier lautete die aufgabe und Funktion:
Notieren Sie für die folgende Funktion die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] der entsprechenden Potenzreihe oder Laurentreihe [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-1)^n [/mm] um den Reihenmittelpunkt 1:
g(z) = [mm] \frac{2z^2-4z+1}{(z-1)^2}
[/mm]
Meine Lösung war:
g(z) = [mm] \frac{2z^2-4z+1}{(z-1)^2} [/mm] = [mm] \frac{2(2-1)^2-1}{(z-1)^2}=2-\frac{1}{(z-1)^2}
[/mm]
[mm] 2-\frac{1}{(z-1)^2}\stackrel{!}{=}\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-1)^n
[/mm]
Hieraus folgt für die Koeeffizienten direkt:
[mm] a_0=2
[/mm]
[mm] a_{-2}=-1
[/mm]
[mm] a_n=0 [/mm] Für alle [mm] n\not= [/mm] 2;-1
Aber bei der Aufgabe oben, will mir eine passende Zerlegung des Bruches nicht gelingen.
Mit passender Zerlegung meine ich, dass fast alle z sich wegkürzen, sodass nur noch sowas wie [mm] (z-2)^n [/mm] zuzüglich irgendwelcher Konstanten im Term stehen.
Evtl. liegt es an der späten Stunde, dass ich hier nichtsmehr sehe, oder ich habe mich wegen der alten Aufgabe, wo diese Zerlegung so leicht ging, bei der neuen Aufgabe total verrannt.
LG,
HP
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Di 14.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Notieren Sie für die folgende Funktion die Koeffizienten
> [mm]a_n[/mm] der entsprechenden Potenzreihe oder Laurentreihe
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-2)^n[/mm] um den
> Reihenmittelpunkt 2:
>
> f(z)= [mm]\frac{2z^2-3z}{(z-2)^2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine ähnliche Aufgabe bereits gemacht. Hier
> lautete die aufgabe und Funktion:
>
> Notieren Sie für die folgende Funktion die Koeffizienten
> [mm]a_n[/mm] der entsprechenden Potenzreihe oder Laurentreihe
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-1)^n[/mm] um den
> Reihenmittelpunkt 1:
> g(z) = [mm]\frac{2z^2-4z+1}{(z-1)^2}[/mm]
>
> Meine Lösung war:
>
> g(z) = [mm]\frac{2z^2-4z+1}{(z-1)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{2(2-1)^2-1}{(z-1)^2}=2-\frac{1}{(z-1)^2}[/mm]
>
> [mm]2-\frac{1}{(z-1)^2}\stackrel{!}{=}\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-1)^n[/mm]
>
> Hieraus folgt für die Koeeffizienten direkt:
>
> [mm]a_0=2[/mm]
> [mm]a_{-2}=-1[/mm]
> [mm]a_n=0[/mm] Für alle [mm]n\not=[/mm] 2;-1
>
>
> Aber bei der Aufgabe oben, will mir eine passende Zerlegung
> des Bruches nicht gelingen.
>
> Mit passender Zerlegung meine ich, dass fast alle z sich
> wegkürzen, sodass nur noch sowas wie [mm](z-2)^n[/mm] zuzüglich
> irgendwelcher Konstanten im Term stehen.
Das geht nicht: du hast hier auf jeden Fall drei Summanden: [mm] $a(z-2)^2+b(z-2)+c$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
ich kann Faktorisieren, quadratisch Erweitern, umformen, kürzen wie ich will. [mm] \
[/mm]
Nie bekomme ich etwas in der form a(z - [mm] 2)^2 [/mm] + b(z - 2) + c
Eine weitere Zerlegung wäre - [mm] \frac{3z}{(2 - z)^2} [/mm] + [mm] \frac{2z^2}{(2 - z)^2}
[/mm]
welche aber auch z im Zähler ..
Gruß,
HP
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
[mm] \bruch{2z^2-3z}{(z-2)^2} [/mm] = [mm] 2\bruch{(z-2)^2 +(5/2)z-4}{(z-2)^2} [/mm] =
[mm] 2(1+\bruch{(5/2)z-4}{(z-2)^2}) [/mm] = [mm] 2(1+\bruch{(5/2)(z-2) +2/5}{(z-2)^2}) [/mm] =
2+ [mm] \bruch{5}{z-2} +\bruch{2}{(z-2)^2}
[/mm]
FRED
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hi,
danke für deine antwort.
lg,
hp
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