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| Aufgabe | | [mm] \bruch{3}{(z+1)*(z-2)} [/mm] soll für 1< |z| <2 in eine Laurentreihe umgewandelt werden. Der Entwicklungspunkt ist wohl 0, steht aber nicht dabei. |
Wie gehe ich jetzt vor?
hab nachgeschaut. Zunächst soll man eine Partialbruchzerlegung machen und sich dann die geometrische Reihe für die Terme anschauen in dem jeweiligen Bereich von |z|.
Für die PBZ kommt bei mir f(z) = [mm] \bruch{-1}{(z+1)}+\bruch{1}{(z-2)} [/mm] heraus. Das ist ja schonmal schön und gut, aber wie gehe ich jetzt mit der geomtrischen Reihe vor? wie schaffe ich es aus dem Term eine Reihe zu bilden?
Ich brauche ja eine Reihe für |z| > 1, für |z|<2, die ich dann zusammenfasse?
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Hallo MathTrivial,
> [mm]\bruch{3}{(z+1)*(z-2)}[/mm] soll für 1< |z| <2 in eine
> Laurentreihe umgewandelt werden. Der Entwicklungspunkt ist
> wohl 0, steht aber nicht dabei.
> Wie gehe ich jetzt vor?
> hab nachgeschaut. Zunächst soll man eine
> Partialbruchzerlegung machen und sich dann die geometrische
> Reihe für die Terme anschauen in dem jeweiligen Bereich
> von |z|.
>
> Für die PBZ kommt bei mir f(z) =
> [mm]\bruch{-1}{(z+1)}+\bruch{1}{(z-2)}[/mm] heraus. Das ist ja
> schonmal schön und gut, aber wie gehe ich jetzt mit der
> geomtrischen Reihe vor? wie schaffe ich es aus dem Term
> eine Reihe zu bilden?
>
> Ich brauche ja eine Reihe für |z| > 1, für |z|<2, die ich
> dann zusammenfasse?
Entwickelt man [mm]\bruch{1}{z-2}[/mm] in eine geometrische Reihe,
so konvergiert diese für [mm]\vmat{z} < 2[/mm]
Der Bruch [mm]\bruch{-1}{z+1}[/mm] ist so in eine geometrische Reihe zu
entwickeln, daß diese für [mm]\vmat{z} > 1[/mm] konvergiert.
Gruss
MathePower
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also muss ich von beiden brüchen eine geometrische reihe bilden, die dann für die bedingung konvergiert?
aber wie entwickle ich das denn in eine geometrische reihe.
da gibts auf wikipedia ja diverse formeln.
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Hallo Mathtrivial.
> also muss ich von beiden brüchen eine geometrische reihe
> bilden, die dann für die bedingung konvergiert?
So isses.
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> aber wie entwickle ich das denn in eine geometrische
> reihe.
> da gibts auf wikipedia ja diverse formeln.
Die unendliche Summe einer geometrischen Reihe ist ja bekannt.
Den Bruch [mm]\bruch{1}{z-c}[/mm] musst Du erstmal auf diese Form bringen.
Je nachdem, ob diese geometrische Reihe für [mm]\vmat{z} > \vmat{c}[/mm]
oder für [mm]\vmat{z} < \vmat{c}[/mm] konvergieren soll, gehst Du vor.
Soll der genannte Bruch für [mm]\vmat{z} < \vmat{c}[/mm] konvergieren, so gilt:
[mm]\bruch{1}{z-c}=\bruch{-1}{c-z}=\bruch{-1}{c}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{c}}[/mm]
Soll das hingegen für [mm]\vmat{z} > \vmat{c}[/mm] konvergieren,
so ist eine andere Umformung durchzuführen.
Die angegebenen Bruch kannst Du jetzt in
eine geometrische Reihe entwickeln.
Gruss
MathePower
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