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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 So 05.07.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich würde gerne die Laurentreihe um den Entwicklungspunkt $1$ der folgenden Funktion bestimmen
[mm] $f(z)=\frac{1}{z^n-1}=\frac{1}{(z-1)}\cdot\frac{1}{\sum_{k=0}^{n-1}z^k}=(z-1)^{-1}\cdot\left[\frac{1-z^n}{1-z}\right]^{-1}$
[/mm]
Irgendwie finde ich jedoch nicht den richtigen Ansatz. Die Polstellenmenge von $f$ ist gerade die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln, aber das hilft mir an dieser Stelle auch nicht wirklich weiter. Es wäre spitze, wenn jemand eine Idee parat hätte?
Danke und Gruß
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Hallo Denny22,
> Hallo,
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> ich würde gerne die Laurentreihe um den Entwicklungspunkt
> [mm]1[/mm] der folgenden Funktion bestimmen
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> [mm]f(z)=\frac{1}{z^n-1}=\frac{1}{(z-1)}\cdot\frac{1
}{\sum_{k=0}^{n-1}z^k}=(z-1)^{-1}\cdot\left[\frac{1-z^n}{1-z}\right]^{-1}[/mm]
>
> Irgendwie finde ich jedoch nicht den richtigen Ansatz. Die
> Polstellenmenge von [mm]f[/mm] ist gerade die Menge der [mm]n[/mm]-ten
> Einheitswurzeln, aber das hilft mir an dieser Stelle auch
> nicht wirklich weiter. Es wäre spitze, wenn jemand eine
> Idee parat hätte?
Die Idee heißt Partialbruchzerlegung:
[mm]f(z)=\frac{1}{z^n-1}=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{A_{i}}{z-z_{i}}}[/mm]
,wobei [mm]z_{i}=e^{i*\bruch{2\pi}{n}}, i=0 ... n-1, i \in \IN_{0}[/mm]
>
> Danke und Gruß
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank, dass probiere ich heute Nachmittag gleich mal aus.
Danke und Gruss
Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmal,
ohne die [mm] $A_i$'s [/mm] konkret zu berechnen, konnte ich nun die entsprechende Laurentreihe um $1$ aufstellen. Aber lassen sich die [mm] $A_i$'s [/mm] fuer allgemeine [mm] $n\in\IN$ [/mm] bestimmen? Und falls ja, wie genau muss ich dabei vorgehen?
Maple liefert mir fuer allgemeine $n$ eine Laurentreihe, daher gehe ich stark davon aus, dass sich die [mm] $A_i$'s [/mm] berechnen lassen.
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Hallo Denny22,
> Hallo nochmal,
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> ohne die [mm]A_i[/mm]'s konkret zu berechnen, konnte ich nun die
> entsprechende Laurentreihe um [mm]1[/mm] aufstellen. Aber lassen
> sich die [mm]A_i[/mm]'s fuer allgemeine [mm]n\in\IN[/mm] bestimmen? Und falls
> ja, wie genau muss ich dabei vorgehen?
>
> Maple liefert mir fuer allgemeine [mm]n[/mm] eine Laurentreihe,
> daher gehe ich stark davon aus, dass sich die [mm]A_i[/mm]'s
> berechnen lassen.
Die [mm]A_{i}[/mm]'s lassen sich berechnen.
Ausgehend von
[mm]\bruch{1}{z^{n}-1}=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{A_{i}}{z-z_{i}}[/mm]
erhalten wir durch gleichnamig machen der rechten Seite:
[mm]1=\summe_{i=0}^{n-1}A_{i}*\produkt_{j=0, j\not=i}^{n-1}\left(z-z_{j}\right)[/mm]
Durch sukzessives einsetzen der [mm]z_{i}[/mm] erhältst Du nun die [mm]A_{i}[/mm].
Gruß
MathePower
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