Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Do 13.11.2008 | | Autor: | hayabusa |
| Aufgabe | Betrachte die rationale Funktion f: z [mm] \in \IC \mapsto \bruch{1}{z^2-5z+6} [/mm] auf dem größtmöglichen Definitionsbereich
b) Entwickle f in einem größtmöglichen Kreisring um [mm] z_0 [/mm] =2 |
Mein Ansatz :
f(z) = [mm] \bruch{1}{z^2-5z+6}= \bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z-2}
[/mm]
Meine Frage : Wie erhalte ich den größtmöglichen Kreisring?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Do 13.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Betrachte die rationale Funktion f: z [mm]\in \IC \mapsto \bruch{1}{z^2-5z+6}[/mm]
> auf dem größtmöglichen Definitionsbereich
> b) Entwickle f in einem größtmöglichen Kreisring um [mm]z_0[/mm] =2
> Mein Ansatz :
>
> f(z) = [mm]\bruch{1}{z^2-5z+6}= \bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z-2}[/mm]
>
> Meine Frage : Wie erhalte ich den größtmöglichen Kreisring?
Der Definitionsbereich enthält die Polstellen der Funktion natürlich nicht. Tatsächlich ist der größtmögliche (offene) Kreisring der, der die Polstellen gerade nicht enthält, das heisst, auf dessen Rand mindestens eine Polstelle liegt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 13.11.2008 | | Autor: | hayabusa |
Die Funktion hat zwei Polstellen: z= 2 und z= 3.
Ich muss um [mm] z_0= [/mm] 2 entwickeln. Wenn ich einen Kreis um [mm] z_0 [/mm] =2 mit Radius 1 ziehe, dann liegt z = 3 auf dem Rand von diesem Kreis. Ist der größtmogliche Kreisring K= {z | [mm] \infty>\abs{z} [/mm] > 3 } ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Do 13.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Funktion hat zwei Polstellen: z= 2 und z= 3.
> Ich muss um [mm]z_0= 2[/mm] entwickeln. Wenn ich einen Kreis um
> [mm]z_0 =2[/mm] mit Radius 1 ziehe, dann liegt z = 3 auf dem Rand
> von diesem Kreis. Ist der größtmogliche Kreisring $K= [mm] \{z \mid\infty>\abs{z} > 3 \}$ [/mm] ?
Nein. Wenn du um [mm]z_0= 2[/mm] entwickelst, hat der Kreisring [mm]z_0= 2[/mm] als Mittelpunkt.
Tipp: es gibt zwei Kreisringe mit [mm]z_0= 2[/mm] als Mittelpunkt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 13.11.2008 | | Autor: | hayabusa |
Ist der zweite Kreisring K = {z | 2 < [mm] \abs{z} [/mm] < 3 } ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Fr 14.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ist der zweite Kreisring [mm]K = \{z | 2 < |z| < 3 \} [/mm]?
Auch der hat nicht [mm] $z_0=2$ [/mm] als Mittelpunkt, sondern den Ursprung. Du solltest dir das mal aufmalen.
Alle Kreisringe um den Entwicklungspunkt haben die Form [mm] $\{z\mid r<|z-z_0|
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 14.11.2008 | | Autor: | hayabusa |
Achso;
der erste Kreisring muss [mm] K_1=\{z| 3< |z-2 |<\infty \} [/mm] lauten und der
zweite Kreisring lautet [mm] K_2=\{z| 2 < |z-2| < 3 \}. [/mm] Und der größtmögliche ist dann [mm] K_1 [/mm] . Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso;
> der erste Kreisring muss [mm]K_1=\{z| 3< |z-2 |<\infty \}[/mm]
> lauten und der
> zweite Kreisring lautet [mm]K_2=\{z| 2 < |z-2| < 3 \}.[/mm] Und der
> größtmögliche ist dann [mm]K_1[/mm] . Ist das so richtig?
Du solltest ja um [mm] $z_0=2$ [/mm] entwickeln. Du hast Dir immer noch kein Bild gemalt, oder? Soweit ich das sehe, sollte wohl [mm] $K_2=U_1(2) \setminus\{2\}=\{z \in \IC: \; 0 < |z-2| < 1\}$ [/mm] sein. Das erkennst Du wegen $3-2=1$ 
Ich kenne auch diese Notation eines (offenen) Kreisringes, wobei $0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] R:$
[mm] $$U_{r,R}(z_0):=\{z \in \IC:\; r < |z-z_0| < R\}\,.$$ [/mm]
Es ist also bspw. [mm] $U_1(2):=\{z \in \IC:\; |z-2| < 1\}=U_{0,1}(2) \overset{d}{\cup} \{2\}\,.$
[/mm]
Der Kreisring [mm] $K_1$ [/mm] bei Dir soll wohl um [mm] $z_0=2$ [/mm] gehen, müßte allerdings $r=1$ und [mm] $R=\infty$ [/mm] haben.
Der Kreisring [mm] $K_2$ [/mm] soll wohl [mm] $U_{0,1}(2)$ [/mm] sein.
Also: Du hattest geschrieben:
> [mm] $K_1=\{z| \red{3}< |z-2 |<\infty \}$
[/mm]
> [mm] $K_2=\{z| \red{2} < |z-2| < \red{3} \}$
[/mm]
Was stört mich an den rotmarkierten Stellen? Anstelle der roten $3$ bei [mm] $K_1$ [/mm] gehört da eine ... hin.
Anstelle der roten 2 bei [mm] $K_2$ [/mm] gehört da eine ... hin, und anstelle der roten 3 bei [mm] $K_2$ [/mm] gehört da eine ... hin.
Ergänze mal die Pünktchen.
P.S.:
Hier mal ein Bildchen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kannst Du mal beschreiben, wie man anhand des Bildchens [mm] $U_{0,1}(2)$ [/mm] und [mm] $U_{1,\infty}(2)$ [/mm] erkennt?
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Fr 14.11.2008 | | Autor: | hayabusa |
> Also: Du hattest geschrieben:
>
> > [mm]K_1=\{z| \red{3}< |z-2 |<\infty \}[/mm]
>
> > [mm]K_2=\{z| \red{2} < |z-2| < \red{3} \}[/mm]
>
> Was stört mich an den rotmarkierten Stellen? Anstelle der
> roten [mm]3[/mm] bei [mm]K_1[/mm] gehört da eine 1 hin.
> Anstelle der roten 2 bei [mm]K_2[/mm] gehört da eine 0 hin, und
> anstelle der roten 3 bei [mm]K_2[/mm] gehört da eine 1 hin.
>
> Ergänze mal die Pünktchen.
Habe die Lücken ergänzt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Also: Du hattest geschrieben:
> >
> > > [mm]K_1=\{z| \red{3}< |z-2 |<\infty \}[/mm]
> >
> > > [mm]K_2=\{z| \red{2} < |z-2| < \red{3} \}[/mm]
> >
> > Was stört mich an den rotmarkierten Stellen? Anstelle der
> > roten [mm]3[/mm] bei [mm]K_1[/mm] gehört da eine 1 hin.
> > Anstelle der roten 2 bei [mm]K_2[/mm] gehört da eine 0 hin, und
> > anstelle der roten 3 bei [mm]K_2[/mm] gehört da eine 1 hin.
> >
> > Ergänze mal die Pünktchen.
>
> Habe die Lücken ergänzt.
genau:
[mm]K_1=\{z| 1< |z-2 |<\infty \}[/mm]
[mm]K_2=\{z| 0 < |z-2| < 1 \}[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Fr 14.11.2008 | | Autor: | hayabusa |
ich erkenne keine Kreisringe [mm]U_{0,1}(2)[/mm] , [mm]U_{1,\infty}(2)[/mm]. Sind das nicht reelle Zahlen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich erkenne keine Kreisringe [mm]U_{0,1}(2)[/mm] , [mm]U_{1,\infty}(2)[/mm].
> Sind das nicht reelle Zahlen?
nein, ich habe doch sogar definiert, was [mm] $U_{r,R}(z_0)$ [/mm] ist. Das ist eine Menge!
Bei dem Bild solltest Du [mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizieren. Kennst Du die ![[]](/images/popup.gif) Gaußsche Zahlenebene?
D.h. z.B. $i [mm] \in \IC\,$ [/mm] wird im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit dem Punkt $(0,1)$ identifiziert. (Allgemein: [mm] $z=\text{Re}(z)+i*\text{Im}(z) \in \IC$ [/mm] wird identifiziert mit [mm] $(\text{Re}(z),\,\text{Im}(z)) \in \IR^2\,.$) [/mm]
Der Punkt $(3,5) [mm] \in \IR^2$ [/mm] steht z.B. wiederum für [mm] $z=3+5*i\,$ [/mm] und umgekehrt.
Nochmal ein Bildchen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für [mm] $z_0=x_0+i*y_0$ [/mm] (identifitziert mit [mm] $(x_0,y_0) \in \IR^2$) [/mm] siehst Du hier, wie [mm] $U_{r,R}(z_0)$ [/mm] aussieht.
Es ist die gestrichelte Menge (ohne die Kreisränder).
Bei Deiner Aufgabe ist das ein wenig speziell:
Ist [mm] $r\,=\,0$ [/mm] und $R < [mm] \infty\,,$ [/mm] so ist [mm] $U_{0,R}(z_0)$ [/mm] nichts anderes als die offene Kreisscheibe um [mm] $z_0$ [/mm] mit Radius $R$ ohne den Punkt [mm] $z_0\,.$
[/mm]
Ist $0 < r < [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $R=\infty\,,$ [/mm] so ist [mm] $U_{r,\infty}(z_0)$ [/mm] nichts anderes als das Komplement des abgeschlossenen Kreises um [mm] $z_0$ [/mm] mit Radius [mm] $r\,.$ [/mm] Überlege Dir das mal, das ist eigentlich einfach.
P.S.: Der Kreismittelpunkt in obigem Bild soll [mm] $z_0$ [/mm] heißen. Es ist etwas schwer zu erkennen, es sieht eher aus wie [mm] $z_a$ [/mm] oder so, das soll aber wirklich [mm] $z_0$ [/mm] sein
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
