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Hallo,
gegeben ist eine Funktion $f(z) = [mm] \bruch{sin(z+1)}{z^2-1}$
[/mm]
Man gebe die ersten drei Gleider der Potenzreihenentwicklung an, die um den
Entwicklungspunkt [mm] z_0 [/mm] = -1 konvergiert.
Wenn der sinus nicht wäre, würde ich PBZ machen und dann für jeden
Term entwickeln. Nun geht das ja nicht wirklich ?!
1. Nennernullstellen [mm] z_1 [/mm] = -1, [mm] z_2 [/mm] = 1
$f(z) = [mm] \bruch{sin(z+1)}{(z-1)(z+1)}$ [/mm]
$f(z) = [mm] \bruch{1}{(z-1)}\bruch{sin(z+1)}{(z+1)}$ [/mm]
$f(z) = [mm] \bruch{1}{(z-1)}\bruch{1}{(z+1)}[ \summe_{i=1}^{n} (-1)^n\bruch{((z+1)^{2n+1}}{(2n+1)!}]$
[/mm]
$f(z) = [mm] \bruch{1}{(z-1)}[ \summe_{i=1}^{n} (-1)^n\bruch{((z+1)^{2n}}{(2n+1)!}]$
[/mm]
Ich weiß jetzt dann wenigstens, dass z+1 eine hebbare Singularität ist
und z-1 eine Polstelle 1.Ordnung.
Und ich muss ja die Reihe aufstellen für die gilt: $0<|z+1|<2$, für
die Singularität z+1 müsste ich den Hauptteil der Laurententwicklung nehmen,
doch der ist doch 0, und für die Singularität z-1 müsste ich den Nebenteil
nehmen, da ich ja aber beides multiplizieren muss ist das ja egal, weil
das eine 0 ist ???
Kommt mir spanisch vor, und dir?
Danke schon mal
marthasmith
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Hallo Martha,
ich nehme mal an, dass ihr die Grenzwertbildung üben sollt. Es geht im Prinzip wie bei einer Taylorentwicklung, nur dass hier Grenzwerte gebildet werden müssen, weil die Funktion im Entwicklungspunkt nicht definiert ist, aber immerhin (wie du schon bemerktest) eine hebbare Singularität aufweist.
In diesem Fall lautet die Formel für die Reihenentwicklung:
$f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{ \limes_{\zeta\rightarrow\ -1}f^{(n)}(\zeta)}{n!}(z+1)^{n}$
[/mm]
Nehmen wir uns die "nullte Ableitung" - also f im Punkt -1 mal etwas genauer vor:
$sin(z+1)$ ist dort $0$, $(x-1)$ ist $-2$ und $(x+1)$ nimmt auch den Wert $0$ an. Ein Fall für de l'Hôspital.
Also ist [mm] $\limes_{z\rightarrow\ -1}\bruch{sin(z+1)}{(z+1)(z-1)}= -\bruch{1}{2}\limes_{z\rightarrow\ -1}\bruch{sin(z+1)}{z+1}= -\bruch{1}{2}\limes_{z\rightarrow\ -1}\bruch{cos(z+1)}{1}= -\bruch{1}{2}$
[/mm]
Soweit klar? Das Gleiche mußt Du jetzt noch für die erste und die zweite Ableitung von f machen und in die oben angegebene Summenformel einsetzen. Das sieht nach 'ner Mordsfummelei aus...
...ist es auch.
Alles wird gut 
Peter
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Hallo Peter,
vielen Dank für deine Antwort. Dann habe ich das jetzt zusammengebaut.
marthasmith
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