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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mo 22.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Geben Sie die Laurententwicklung der Funktion
[mm] f:\IC\backslash\{0\}\to\IC, f(z)=z^3*sin\bruch{1}{z}
[/mm]
auf [mm] \IC\backslash\{0\} [/mm] an. |
Bitte mal meine Lösung überprüfen. Bin mir nicht sicher, ob man die Entwicklung von sin z einfach so auf [mm] sin\bruch{1}{z} [/mm] übertragen kann?! Wenn ja, könnte man das dann auch mit sin [mm] z^2 [/mm] oder sin (1-z) machen?
[mm] sin(z)=\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}
[/mm]
[mm] sin\bruch{1}{z}=\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{-2n-1}
[/mm]
[mm] f(z)=\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{-2n+2}=z^2+\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+3)!}z^{-2n}
[/mm]
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Hallo,
> Geben Sie die Laurententwicklung der Funktion
> [mm]f:\IC\backslash\{0\}\to\IC, f(z)=z^3*sin\bruch{1}{z}[/mm]
> auf
> [mm]\IC\backslash\{0\}[/mm] an.
> Bitte mal meine Lösung überprüfen. Bin mir nicht
> sicher, ob man die Entwicklung von sin z einfach so auf
> [mm]sin\bruch{1}{z}[/mm] übertragen kann?! Wenn ja, könnte man das
> dann auch mit sin [mm]z^2[/mm] oder sin (1-z) machen?
>
> [mm]sin(z)=\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}[/mm]
>
> [mm]sin\bruch{1}{z}=\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{-2n-1}[/mm]
>
> [mm]f(z)=\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{-2n+2}=z^2+\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+3)!}z^{-2n}[/mm]
Das sieht schon ganz gut aus. Du kannst ruhig das [mm] z^{2} [/mm] mit in die Reihe hereinnehmen!
[mm] $=\summe_{n=-1}^\infty\bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+3)!}z^{-2n}$
[/mm]
Um keine Verwirrungen mit dem Hauptteil zu bekommen, solltest du vielleicht noch Folgendes tun:
[mm] $=\summe_{n=-\infty}^{1}\bruch{(-1)^{-n+1}}{(-2n+3)!}z^{2n}$
[/mm]
Du darfst die Schritte machen, die du getan hast, solltest aber mit einem Auge darauf schauen, wo deine Reihe dann noch konvergiert (also beim Einsetzen von [mm] \frac{1}{z} [/mm] ).
Wenn du (1-z) einsetzt, ist dann noch die Frage, worum du die Laurent-Reihe eigentlich entwickelst. In der Aufgabenstellung ist ja gar nichts angegeben (was ich komisch finde); aber ansonsten musst du dann eben noch den richtigen Entwicklungspunkt durch Termumformungen "hinbekommen".
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:55 Di 23.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Geben Sie die Laurententwicklung der Funktion
> > [mm]f:\IC\backslash\{0\}\to\IC, f(z)=z^3*sin\bruch{1}{z}[/mm]
> >
> auf
> > [mm]\IC\backslash\{0\}[/mm] an.
> > Bitte mal meine Lösung überprüfen. Bin mir nicht
> > sicher, ob man die Entwicklung von sin z einfach so auf
> > [mm]sin\bruch{1}{z}[/mm] übertragen kann?! Wenn ja, könnte man das
> > dann auch mit sin [mm]z^2[/mm] oder sin (1-z) machen?
> >
> > [mm]sin(z)=\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}[/mm]
> >
> >
> [mm]sin\bruch{1}{z}=\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{-2n-1}[/mm]
> >
> >
> [mm]f(z)=\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{-2n+2}=z^2+\summe_{n=0}^\infty\bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+3)!}z^{-2n}[/mm]
>
> Das sieht schon ganz gut aus. Du kannst ruhig das [mm]z^{2}[/mm] mit
> in die Reihe hereinnehmen!
>
> [mm]=\summe_{n=-1}^\infty\bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+3)!}z^{-2n}[/mm]
>
> Um keine Verwirrungen mit dem Hauptteil zu bekommen,
> solltest du vielleicht noch Folgendes tun:
>
> [mm]=\summe_{n=-\infty}^{1}\bruch{(-1)^{-n+1}}{(-2n+3)!}z^{2n}[/mm]
>
> Du darfst die Schritte machen, die du getan hast, solltest
> aber mit einem Auge darauf schauen, wo deine Reihe dann
> noch konvergiert (also beim Einsetzen von [mm]\frac{1}{z}[/mm] ).
> Wenn du (1-z) einsetzt, ist dann noch die Frage, worum du
> die Laurent-Reihe eigentlich entwickelst. In der
> Aufgabenstellung ist ja gar nichts angegeben
Doch, da steht: Laurententwicklung auf $ [mm] \IC\backslash\{0\} [/mm] $
FRED
> (was ich
> komisch finde); aber ansonsten musst du dann eben noch den
> richtigen Entwicklungspunkt durch Termumformungen
> "hinbekommen".
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
> Doch, da steht: Laurententwicklung auf [mm]\IC\backslash\{0\}[/mm]
Danke für deinen Hinweis.
Da habe ich wohl zu wenig nachgedacht.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Di 23.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Die Übungsleiterin, von der ich die Aufgabe hatte, meinte auch, es sei etwas unglücklich formuliert...
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