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| Aufgabe 1 | Bestimme die Laurententwicklung von [mm]f(z)=\bruch{1}{z(1-z)}[/mm]
in den Punkten -1, 0 und 1. |
| Aufgabe 2 | Welche Arten von Singularitäten haben die folg. Funktionen
auf der Riemannschen Zahlenkugel (mit Begründung)?
a) [mm]\bruch{1}{z^3-2z^2+z}[/mm]
b) [mm]\bruch{e^z}{z^2+2}[/mm]
c) [mm]\bruch{cos(z)}{sin(z)}[/mm]
d) [mm]\bruch{e^\bruch{1}{z-1}}{e^z-1}[/mm] |
Hallo!
Hänge mal wieder verzeifelt an meinem FT-Blatt.
Doch wieder einmal fällt mir nichts zu den obigen Aufgaben ein.
Aufgabe 1 soll was mit der geometr. Reihe zu tun haben.
Bekomme die Laurententw. jedoch einfach nicht hin!
Bei Aufgabe 2 muss ich zugeben,
dass ich Aufgrund eines Fußbruchs, gefehlt habe
und darum nicht so wirklich weiß, um was/ wie es geht.
Man sollte halt lieber Fußball passiv schauen, anstatt es zu spielen 
Wäre Euch jedanfalls sehr dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
VlG
Mario
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Mo 19.06.2006 | | Autor: | adonis1981 |
Hallo nochmal!
Kann mir niemand bei meinem Problem helfen?
Komme echt nicht weiter!
Wäre Euch sehr dankbar!
Gruß
Mario
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mo 19.06.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
da ja sonst keiner Antwortet schreibe ich mal, was ich noch weiß. Ich habe aber leider keine Zeit, das nochmal alles nachzulesen, daher nur ein paar Tipps.
Zu Aufgabe 1: Weiß ich nicht mehr. Nur so viel, dass das für -1 trivial sein müsste, da dort ja keine Singularität vorliegt.
Zu Aufgabe 2: Du musst unbedingt nachlesen, was eine wesentliche und was eine unwesentliche Singularität ist.
So ungefähr aus dem Kopf: Wenn Du die Topologie der Riemannschen Zahlenkugel nimmst, dann sind die unwesentlichen Singularitäten genau die, die sich stetig zum Nordpol fortsetzen lassen.
In der Praxis ist es so, dass z.B. die Singularitäten von gebrochen rationalen Funktionen alle unwesentlich sind.
Über wesentliche Singularitäten gibt es starke Sätze, z:B. den, dass für jede Umgebung einer Singularität das Bild der Umgebung unter der Funktion dicht in C liegt.
Solche Singularitäten wie sin(1/x) bei Null sind wesentlich.
Also hast Du bei a) lauter unwensentliche Singularitäten bei den Nullstellen des Nennerpolynoms.
Bei d) liegt bei z=1 eine wesentliche Singularität vor.
Genauer kann ich es leider nicht mehr, Du solltest unbedingt Dein Skript und ein Gutes Buch konsultieren!
Viele Grüße,
Andreas
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Hallo nochmal!
Vielen Dank schon mal für die Tipps.
Komme jedoch leider immer noch nicht weiter!
Bei Aufgabe 1 sagst Du "Trivial bei -1".
Doch was heißt trivial?
Bekomme die Laurententwicklung einfach nicht hin!
Vielleicht kann mir doch noch jemand helfen!
VlG
Mario
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mi 21.06.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
ich habe jetzt (extra für Dich  )mal etwas nachgelesen.
Also zunächst mal: trivial heißt, dass an Stellen, wo keine Singularität vorliegt, der Hauptteil (das sind die Summanden mit negativem Exponenten) Null ist und die Laurentreihe einfach der Taylorreihe entspricht.
Für z=-1 machst Du also eine Taylorentwicklung.
Für z=0 machen wir erst mal folgendes: Du brauchst ja die Funktion als Summe des Pols und dem Rest.
Da machen wir erst mal eine Partialbruchzerlegung, die in diesem Fall zum Glück einfach ist:
[mm]
1/(z*(1-z)) = 1/z + A /(1-z)
[/mm]
Wenn man das ausrechnet, kommt A = 1 raus, es gilt also
1/(z*(1-z)) = 1/z + 1/(1-z)
Jetzt hat man noch weiter Glück: 1/1-z) ist gerade die Summenformel der Geometrischen reihe, also ist
1/(1-z) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} z^i
[/mm]
Dann ist insgesamt Deine Laurentreihe
1/(z*(1-z)) = [mm] \summe_{i=-1}^{\infty} z^i
[/mm]
Für z=1 kannst Du die gleiche Partialbruchzerlegung nehmen. Jetzt ist nur der andere Teil Dein Hauptteil, und der erste Teil Dein "Rest". Ich weiß jetzt nicht, ob man das auch wieder irgenwie als geometrische Reihe "tricksen" kann. Ansonsten machst Du für den Nebenteil eben eine Taylorentwicklung.
Ich bin zwar schwer aus der Übung, aber ich glaube doch, dass das stimmt.
Viele Grüße,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mi 21.06.2006 | | Autor: | adonis1981 |
Hi!
Vielen Dank für Deine Mühen!
Hab's jetzt hinbekommen!
Vielen vielen Dank für Deine Hilfe!
hast was gut bei mir
VlG
Mario
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Fr 23.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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