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Hallo! Leider muss ich zugeben, dass ich kaum Ahnung von der Materie habe. Ich habe folgende Aufgabe vorliegen und hab keine Ahnung wie ich sie angehen soll. Daher hoffe ich, dass mir da jemand helfen kan?!?
Aufgabe: Berechnet werden soll die Laurentreihe von [mm] \bruch{1}{1+ z^{2}} [/mm] an der Stelle z=i
Hilfe hilfe!
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo tinamol,
das ist eigentlich nicht so schwer 
Du möchtest ja eine Darstellung in der Form [mm] $f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k (z-i)^k$ [/mm] von deiner Funktion finden.
Dazu solltest du dir erstmal überlegen, dass [mm] $f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}$ [/mm] ist. Du kannst $f$ jetzt durch eine Partialbruchzerlegung in [mm] $\frac{A}{z-i}$ [/mm] und [mm] $\frac{B}{z+i}$ [/mm] zerlegen. Da [mm] $\frac{B}{z+i}$ [/mm] holomorph auf [mm] $\mathbb{C}\setminus \{-i\}$ [/mm] ist, gibt es eine Reihendarstellung um $z=i$, so dass [mm] $\frac{B}{z+i}=\sum_{k=0}^{\infty} a_k (z-i)^k$, [/mm] wobei sich die [mm] $a_k$ [/mm] wie in der Taylorreihe bestimmen lassen. Da [mm] $\frac{A}{z-i}=A\cdot (z-i)^{(-1)}$ [/mm] kennst du damit auch alle [mm] $a_k$ [/mm] für $k [mm] \in \{-1; -2; -3; \ldots\}$, [/mm] nämlich [mm] $a_{-1}=A$ [/mm] und ansonsten nur $0$.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 So 24.04.2005 | | Autor: | tinamol21 |
Danke für die Antwort. ich schau sie mir jetzt mal genau an!!!
Gruß,
Tinamol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 So 24.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Tina!
Um die Taylorreihe von [mm] $\frac{B}{z+i}$ [/mm] um $i$ herum zu bestimmen, sollte man am besten mit der geometrischen Reihe arbeiten, wie fast immer bei diesen (langweiligen) Laurentreihenfindungsaufgaben :
Es gilt:
[mm] $\frac{B}{z+i} [/mm] = [mm] \frac{B}{(z-i) + 2i} [/mm] = [mm] \frac{\frac{B}{2i}}{1 - \frac{z-i}{-2i}}$.
[/mm]
Naja, und jetzt einfach die Formel für die unendliche geometrische Reihe (überlege dir vorher den Konvergenzradius!) ausnutzen.
Liebe Grüße
Stefan
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