Laurent-Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Bestimme das Konvergenzgebiet der folgenden Laurent-Reihen:
1) [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} 2^{-|n|}*z^n
[/mm]
2) [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{(z-1)^n}{3^n+1}
[/mm]
3) [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} 2^n*(z+2)^n [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich soll für diese Reihen das Konverzgebiet berechnen.
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist das Konvergenzgebiet doch der Kreis [mm] D_R(a) [/mm] wobei R der Konvergenzradius ist.
So, jetzt hab ich mir überlegt, dass es dann ja reichen müsste, eben diesen Konvergenzradius zu bestimmen.
In meinem Buch steht nun, dass der Nebenteil der Reihe den Konvergenzradius [mm] R\in [0,+\infty] [/mm] hat und der Hauptteil den Konvergenzradius [mm] \bruch{1}{r}\in [0,+\infty].
[/mm]
Im Internet hab ich nun folgende Formeln zur Bestimmung des Konvergenzradius gefunden:
[mm] \bruch{1}{R}=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|} \gdw R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}} [/mm] , also ganz normal Cauchy-Hadamard
Angewendet auf [mm] \bruch{1}{r}: \bruch{1}{\bruch{1}{r}}=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_{-n}|} \gdw r=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_{-n}|}
[/mm]
wobei das [mm] a_{-n} [/mm] glaube ich daher kommt, dass man den Hauptteil [mm] \summe_{n=-1}^{-\infty} a_n^*(z-a)^n [/mm] ja umschreiben kann in [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{-n}^*(z-a)^{-n}.
[/mm]
Wenn ich nun aber r und R berechne - R mit der Summe für den Nebenteil und r mit der Summe für den Hauptteil - dann haben ich bei den Teilaufgaben 1) und 3) beidesmal das Problem, dass ich für R und r den gleichen Wert rausbekomme.
Und das ist irgendwie doof, weil in meiner Vorlesung steht, dass wenn r und R gleich sind, dann konvergiert die Laurent-Reihe in keiner offenen Menge.
Ich erkläre mir das so, dass es dann ja quasi keinen Kreisring gibt, sondern nur eine Kreislinie (kann es auf einer Kreislinie keine Konvergenz geben?).
Am besten schreib ich mal meine Rechnung für die dritte Aufgabe auf, vielleicht kann mir ja dann jemand weiterhelfen:
Nebenteil
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2^n*(z+2)^n
[/mm]
[mm] R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|2^n|}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n}} [/mm] weil [mm] |2^n|=2^n, [/mm] weil ja n positiv, da n von 0 bis [mm] \infty [/mm] geht, und somit auch [mm] 2^n [/mm] positiv
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} (2^n)^{\bruch{1}{n}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} 2^{n*\bruch{1}{n}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} 2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}
[/mm]
Hauptteil
[mm] \summe_{n=-1}^{-\infty} 2^n*(z+2)^n=\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z+2)^{-n}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] ist hier dann [mm] 2^n [/mm] und [mm] a_{-n} [/mm] ist demnach [mm] 2^{-n}.
[/mm]
[mm] r=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_{-n}|}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|2^{-n}|}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^{-n}} [/mm] weil [mm] |2^{-n}|=2^{-n} [/mm] weil n positiv und [mm] 2^{-n}=\bruch{1}{2^n} [/mm] ist dann auch immer positiv
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty} {2^{-n}^{\bruch{1}{n}}}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty} {2^{-1}}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}
[/mm]
Ich mein, irgendwie es es klar, dass beidesmal das gleiche rauskommt:
In der einen Formel zur Berechnung des Konvergenzradius ist zwar kein Bruch mehr da, das wird dann aber quasi wieder von dem Minus im Exponenten aufgehoben.
Und bei der ersten Teilaufgabe habe ich genau das gleiche Problem.
Die zweite Aufgabe hab ich mir deshalb auch noch gar nicht angeguckt ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler ist?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Fr 06.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Bestimme das Konvergenzgebiet der folgenden
> Laurent-Reihen:
>
> 1) [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty} 2^{-|n|}*z^n[/mm]
>
> 2) [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{(z-1)^n}{3^n+1}[/mm]
>
> 3) [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty} 2^n*(z+2)^n[/mm]
> Hallo
> zusammen!
>
>
>
> Ich soll für diese Reihen das Konverzgebiet berechnen.
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist das
> Konvergenzgebiet doch der Kreis [mm]D_R(a)[/mm] wobei R der
> Konvergenzradius ist.
>
> So, jetzt hab ich mir überlegt, dass es dann ja reichen
> müsste, eben diesen Konvergenzradius zu bestimmen.
Für den Nebenteil. Für den Hauptteil ist es das Gebiet außerhalb des Kreises [mm]D_r(a)[/mm]. Beide zusammengesetzt ergeben die Bedingung:
> In meinem Buch steht nun, dass der Nebenteil der Reihe den
> Konvergenzradius [mm]R\in [0,+\infty][/mm] hat und der Hauptteil den
> Konvergenzradius [mm]\bruch{1}{r}\in [0,+\infty].[/mm]
>
> Im Internet hab ich nun folgende Formeln zur Bestimmung des
> Konvergenzradius gefunden:
>
> [mm]\bruch{1}{R}=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|} \gdw R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]
> , also ganz normal Cauchy-Hadamard
>
> Angewendet auf [mm]\bruch{1}{r}: \bruch{1}{\bruch{1}{r}}=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_{-n}|} \gdw r=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_{-n}|}[/mm]
>
> wobei das [mm]a_{-n}[/mm] glaube ich daher kommt, dass man den
> Hauptteil [mm]\summe_{n=-1}^{-\infty} a_n^*(z-a)^n[/mm] ja
> umschreiben kann in [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{-n}^*(z-a)^{-n}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich nun aber r und R berechne - R mit der Summe für
> den Nebenteil und r mit der Summe für den Hauptteil - dann
> haben ich bei den Teilaufgaben 1) und 3) beidesmal das
> Problem, dass ich für R und r den gleichen Wert
> rausbekomme.
Bei der Teilaufgabe 3 ist das richtig, bei der Teilaufgabe 1 nicht.
> Und das ist irgendwie doof, weil in meiner Vorlesung steht,
> dass wenn r und R gleich sind, dann konvergiert die
> Laurent-Reihe in keiner offenen Menge.
Richtig.
> Ich erkläre mir das so, dass es dann ja quasi keinen
> Kreisring gibt, sondern nur eine Kreislinie (kann es auf
> einer Kreislinie keine Konvergenz geben?).
Eine Kreislinie ist aber keine offene, sondern eine abgeschlossene Menge. (Das sieht du leicht daran, dass das Komplement der Kreislinie aus zwei disjunkten offenen Menge besteht, und deren Vereinigung ist offen.)
Außerdem kann man auf dem Rand keine allgemeine Aussage treffen. (Beispiel geometrische Reihe $1/(1-z)$: konvergent für z=-1, divergent für z=+1)
> Am besten schreib ich mal meine Rechnung für die dritte
> Aufgabe auf, vielleicht kann mir ja dann jemand
> weiterhelfen:
>
>
>
> Nebenteil
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 2^n*(z+2)^n[/mm]
>
> [mm]R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|2^n|}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^n}}[/mm]
> weil [mm]|2^n|=2^n,[/mm] weil ja n positiv, da n von 0 bis [mm]\infty[/mm]
> geht, und somit auch [mm]2^n[/mm] positiv
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} (2^n)^{\bruch{1}{n}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} 2^{n*\bruch{1}{n}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} 2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[/mm]
> Hauptteil
>
> [mm]\summe_{n=-1}^{-\infty} 2^n*(z+2)^n=\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z+2)^{-n}[/mm]
>
> [mm]a_n[/mm] ist hier dann [mm]2^n[/mm] und [mm]a_{-n}[/mm] ist demnach [mm]2^{-n}.[/mm]
>
> [mm]r=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_{-n}|}[/mm]
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|2^{-n}|}[/mm]
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^{-n}}[/mm] weil
> [mm]|2^{-n}|=2^{-n}[/mm] weil n positiv und [mm]2^{-n}=\bruch{1}{2^n}[/mm]
> ist dann auch immer positiv
Die Potenz ist für reelle Exponenten immer positiv.
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty} {2^{-n}^{\bruch{1}{n}}}[/mm]
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty} {2^{-1}}[/mm]
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[/mm]
> Ich mein, irgendwie es es klar, dass beidesmal das gleiche
> rauskommt:
>
> In der einen Formel zur Berechnung des Konvergenzradius ist
> zwar kein Bruch mehr da, das wird dann aber quasi wieder
> von dem Minus im Exponenten aufgehoben.
Richtig. Anders formuliert: die einzelnen Summanden sind von der Form
[mm] (2*(z+2))^n [/mm]
Damit der Nebenteil (n positiv) konvergiert, muss $|2*(z+2)|<1$ sein. Damit der Hauptteil (negative n) konvergiert, muss $|2*(z+2)|>1$ sein. Beides gleichzeitig geht nicht.
> Und bei der ersten Teilaufgabe habe ich genau das gleiche
> Problem.
Nein, das stimmt nicht, denn da steht $|n|$ im Exponenten, also ist [mm] $a_{-n} [/mm] = [mm] a_n [/mm] $.
> Die zweite Aufgabe hab ich mir deshalb auch noch gar nicht
> angeguckt
Die geht im Prinzip genauso, aber ich verrate dir noch nicht, was herauskommt 
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Sa 07.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nicole!
> > Nein, das stimmt nicht, denn da steht [mm]|n|[/mm] im Exponenten,
> > also ist [mm]a_{-n} = a_n [/mm].
>
> Die zweite Aufgabe hab ich nochmal überarbeitet.
>
> Ich hatte das Minus falsch gesetzt, und zwar vor den Betrag
> statt in den Betrag ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
>
> Hier die Rechnung:
>
>
>
> Nebenteil
>
> Der Nebenteil ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 2^{-|n|}*(z-0)^n=\summe_{n=0}^{\infty} 2^{-n}*(z-0)^n[/mm]
> da n>0 und [mm]a_n=2^{-n}[/mm]
>
> [mm]R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|2^{-n}|}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2^{-n}}}[/mm]
> da [mm]2^{-n}[/mm] für n zwischen 0 und [mm]\infty[/mm] stets positiv
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}(2^{-n})^{\bruch{1}{n}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}2^{-1}}[/mm]
>
> = 2
>
> Also ist für den Nebenteil der Konvergenzradis 2 und das
> Konvergenzgebiet [mm]D_2(0).[/mm]
> Hauptteil
>
> Der Hauptteil ist [mm]\summe_{n=-1}^{-\infty} 2^{-|n|}*(z-0)^n=\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-|-n|}*(z-0)^n =\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z-0)^n[/mm]
> da n>0 und [mm]a_{-n}=2^{-n}[/mm]
Nicht ganz. Wenn du die Ersetzung [mm] $n\to-n$ [/mm] machst, musst du das überall tun:
[mm]\summe_{n=-1}^{-\infty} 2^{-|n|}*(z-0)^n=\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-|-n|}*(z-0)^{\red{-n}} =\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z-0)^{\red{-n}}[/mm]
Der Hauptteil hat negative Potenzen von [mm] $(z-z_0)$.
[/mm]
> [mm]r=\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|2^{-n}|}[/mm]
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2^{-n}
}[/mm] da
> [mm]2^{-n}[/mm] für n zwischen 0 und [mm]\infty[/mm] stets positiv
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty}(2^{-n})^{\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> [mm]=\limes sup_{n\rightarrow\infty}2^{-1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Also ist für den Hauptteil der Konvergenzradis [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> und das Konvergenzgebiet [mm]D_{\bruch{1}{2}}(0).[/mm]
Der Schluss ist falsch, denn die Aussage ist: der Hauptteil konvergiert für [mm] $|z|\red{>}r$. [/mm] Also ist das Konvergenzgebiet [mm] $\IC \backslash \overline D_{\bruch{1}{2}}(0) [/mm] $, das Äußere der abgeschlossenen Kreisscheibe vom Radisu 1/2.
Betrachte nochmal die Summe:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z-0)^{-n} = \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2z}\right)^n[/mm]
Das ist eine geometrische Reihe mit [mm] $q=\bruch{1}{2z}$, [/mm] die für $|q|<1 [mm] \gdw |z|>\bruch{1}{2}$ [/mm] konvergiert.
Vielleicht hilft diese Merkregel: der Hauptteil enthält negative Potenzen von z, er wird daher kleiner, wenn $|z|$ größer wird. Deswegen konvergiert der Hauptteil außerhalb einer Kreisscheibe. Der Nebenteil ist eine gewöhnliche Potenzreihe mit positiven Potenzen von z, deswegen konvergiert er innerhalb einer Kreisscheibe.
> Wie trage ich das nun als Endergebnis zusammen?
Der Hauptteil konvergiert für [mm] $|z|>\bruch{1}{2}$, [/mm] der Nebenteil für $|z|<2$, die Laurentreihe konvergiert daher im Kreisring [mm] $\bruch{1}{2}<|z|<2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 08.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Der Schluss ist falsch, denn die Aussage ist: der Hauptteil
> konvergiert für [mm]|z|\red{>}r[/mm]. Also ist das Konvergenzgebiet
> [mm]\IC \backslash \overline D_{\bruch{1}{2}}(0) [/mm], das Äußere
> der abgeschlossenen Kreisscheibe vom Radisu 1/2.
>
> Betrachte nochmal die Summe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z-0)^{-n} = \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2z}\right)^n[/mm]
>
> Das ist eine geometrische Reihe mit [mm]q=\bruch{1}{2z}[/mm], die
> für [mm]|q|<1 \gdw |z|>\bruch{1}{2}[/mm] konvergiert.
>
> Vielleicht hilft diese Merkregel: der Hauptteil enthält
> negative Potenzen von z, er wird daher kleiner, wenn [mm]|z|[/mm]
> größer wird. Deswegen konvergiert der Hauptteil außerhalb
> einer Kreisscheibe. Der Nebenteil ist eine gewöhnliche
> Potenzreihe mit positiven Potenzen von z, deswegen
> konvergiert er innerhalb einer Kreisscheibe.
Das verstehe ich noch nicht so ganz.
Ich hab nochmal in meine Vorlesung geguckt.
Also da steht, dass der Nebenteil der Laurent-Reihe den Konvergenzkreis [mm] D_R(a) [/mm] hat.
Also ja genau das, was ich oben habe, und wo du gesagt hast, das ist richtig.
Nun hab ich für den Hauptteil hier stehen, dass er außerhalb der Kreisscheibe [mm] \overline{D_R(a)} [/mm] konvergiert.
Wenn er außerhalb dieser Menge konvergiert (und ich hab doch [mm] \IC [/mm] als Hauptmenge, oder?), dann müsste also [mm] \IC-\overline{D_R(a)} [/mm] überbleiben, oder?
Aber wie genau sieht diese Menge dann aus?
Ich hab das noch nicht verstanden, wie du auf das [mm] |z-0|>r=\bruch{1}{2} [/mm] kommst.
Ist das immer so, dass |z-a| im Hauptteil>r?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 So 08.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
>
>
> > Der Schluss ist falsch, denn die Aussage ist: der Hauptteil
> > konvergiert für [mm]|z|\red{>}r[/mm]. Also ist das Konvergenzgebiet
> > [mm]\IC \backslash \overline D_{\bruch{1}{2}}(0) [/mm], das Äußere
> > der abgeschlossenen Kreisscheibe vom Radisu 1/2.
> >
> > Betrachte nochmal die Summe:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z-0)^{-n} = \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2z}\right)^n[/mm]
>
> >
> > Das ist eine geometrische Reihe mit [mm]q=\bruch{1}{2z}[/mm], die
> > für [mm]|q|<1 \gdw |z|>\bruch{1}{2}[/mm] konvergiert.
> >
> > Vielleicht hilft diese Merkregel: der Hauptteil enthält
> > negative Potenzen von z, er wird daher kleiner, wenn [mm]|z|[/mm]
> > größer wird. Deswegen konvergiert der Hauptteil außerhalb
> > einer Kreisscheibe. Der Nebenteil ist eine gewöhnliche
> > Potenzreihe mit positiven Potenzen von z, deswegen
> > konvergiert er innerhalb einer Kreisscheibe.
>
>
>
> Das verstehe ich noch nicht so ganz.
>
> Ich hab nochmal in meine Vorlesung geguckt.
>
> Also da steht, dass der Nebenteil der Laurent-Reihe den
> Konvergenzkreis [mm]D_R(a)[/mm] hat.
>
> Also ja genau das, was ich oben habe, und wo du gesagt
> hast, das ist richtig.
>
> Nun hab ich für den Hauptteil hier stehen, dass er
> außerhalb der Kreisscheibe [mm]\overline{D_R(a)}[/mm] konvergiert.
Vorsicht, du wirfst hier die beiden Radien R und r durcheinander. Der Hauptteil konvergiert außerhalb der Kreisscheibe [mm]\overline{D_r(a)}[/mm].
>
> Wenn er außerhalb dieser Menge konvergiert (und ich hab
> doch [mm]\IC[/mm] als Hauptmenge, oder?), dann müsste also
> [mm]\IC-\overline{D_R(a)}[/mm] überbleiben, oder?
[mm]\IC-\overline{D_{\red{r}}(a)}[/mm], aber sonst ist das richtig.
> Aber wie genau sieht diese Menge dann aus?
Mal dir die komplexe Ebene hin, dann einen Kreis vom Radius r um den Punkt a=0. Alles was außerhalb dieser Kreisscheibe liegt, bis hin ins Unendliche, gehört zu dieser Menge.
> Ich hab das noch nicht verstanden, wie du auf das
> [mm]|z-0|>r=\bruch{1}{2}[/mm] kommst.
An welcher Stelle?
Ich habe mit der geometrischen Reihe verglichen. Die geometrische Reihe ist
[mm] \summe_{n=1}^\infty q^n [/mm]
Sie konvergiert (absolut) für beliebige komplexe q mit $|q|<1$, divergiert für $|q|>1$.
Wenn du mit deinem Hauptteil
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z-0)^{-n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2z}\right)^n
[/mm]
vergleichst, dann siehst du dass die beiden Reihen übereinstimmen für [mm] $q=\bruch{1}{2z}$. [/mm] Daher konvergiert dein Hauptteil für
[mm]|q|=\left|\bruch{1}{2z}\right|<1 \gdw |z| > \bruch{1}{2} [/mm]
und divergiert für
[mm]|q|=\left|\bruch{1}{2z}\right|>1 \gdw |z| < \bruch{1}{2} [/mm]
Also konvergiert sie außerhalb der Kreisscheibe [mm] $\overline{D_{1/2}(0)}$
[/mm]
> Ist das immer so, dass |z-a| im Hauptteil>r?
Das ist genau die Bedeutung der Zahl r in der Bedingung $r <|z-a|<R$: der Hauptteil konvergiert nur für $|z-a|>R$, der Nebenteil nur für $|z-a|<R$. Das liegt daran, dass im Nebenteil nur positive Potenzen von $(z-a)$ stehen, im Hauptteil nur negative.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 08.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Vorsicht, du wirfst hier die beiden Radien R und r
> durcheinander. Der Hauptteil konvergiert außerhalb der
> Kreisscheibe [mm]\overline{D_r(a)}[/mm].
Oh ja, ich habe falsch abgeschrieben ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]") in meinem Buch steht da auch ein kleines r.
> Mal dir die komplexe Ebene hin, dann einen Kreis vom Radius
> r um den Punkt a=0. Alles was außerhalb dieser Kreisscheibe
> liegt, bis hin ins Unendliche, gehört zu dieser Menge.
ok
> An welcher Stelle?
>
> Ich habe mit der geometrischen Reihe verglichen. Die
> geometrische Reihe ist
>
> [mm]\summe_{n=1}^\infty q^n[/mm]
>
> Sie konvergiert (absolut) für beliebige komplexe q mit
> [mm]|q|<1[/mm], divergiert für [mm]|q|>1[/mm].
>
> Wenn du mit deinem Hauptteil
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z-0)^{-n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2z}\right)^n[/mm]
>
> vergleichst, dann siehst du dass die beiden Reihen
> übereinstimmen für [mm]q=\bruch{1}{2z}[/mm]. Daher konvergiert dein
> Hauptteil für
>
> [mm]|q|=\left|\bruch{1}{2z}\right|<1 \gdw |z| > \bruch{1}{2}[/mm]
>
> und divergiert für
>
> [mm]|q|=\left|\bruch{1}{2z}\right|>1 \gdw |z| < \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Also konvergiert sie außerhalb der Kreisscheibe
> [mm]\overline{D_{1/2}(0)}[/mm]
Hmm, na gut...
Aber für die Berechnung meines Konvergenzgebietes ist das doch jetzt nicht nötig, oder?
> Das ist genau die Bedeutung der Zahl r in der Bedingung [mm]r <|z-a|
> der Hauptteil konvergiert nur für [mm]|z-a|>R[/mm], der Nebenteil
> nur für [mm]|z-a|
Du meinst im Hauptteil |z-a|>r, oder?
Kann ich jetzt nicht einfach wie folgt hingehen:
Laurentreihen konvergieren stets auf einem Kreisgebiet K(a,r,R)= { [mm] z\in\IC [/mm] : r<|z-a|<R }
Nun einfach r und R wie ich es gemacht habe berechnen, und mitsamt Entwicklungspunkt in r<|z-a|<R einsetzen?
Muss ich überhaupt noch erwähnen, dass Nebenteil in [mm] D_R(a) [/mm] und Hauptteil außerhalb von [mm] \overline{D_r(a)} [/mm] konvergieren?
Aber irgendwie brauch ich das, damit ich weiß, mit welcher Summe ich r und R berechnen muss, oder?
> Das liegt daran, dass im Nebenteil nur
> positive Potenzen von [mm](z-a)[/mm] stehen, im Hauptteil nur
> negative.
Diesen Zusammenhang versteh ich irgendwie nicht...
Oh mei, ist das kompliziert...
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 08.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> > Mal dir die komplexe Ebene hin, dann einen Kreis vom Radius
> > r um den Punkt a=0. Alles was außerhalb dieser Kreisscheibe
> > liegt, bis hin ins Unendliche, gehört zu dieser Menge.
>
> ok
>
>
>
> > An welcher Stelle?
> >
> > Ich habe mit der geometrischen Reihe verglichen. Die
> > geometrische Reihe ist
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^\infty q^n[/mm]
> >
> > Sie konvergiert (absolut) für beliebige komplexe q mit
> > [mm]|q|<1[/mm], divergiert für [mm]|q|>1[/mm].
> >
> > Wenn du mit deinem Hauptteil
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 2^{-n}*(z-0)^{-n}[/mm] =
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{2z}\right)^n[/mm]
> >
> > vergleichst, dann siehst du dass die beiden Reihen
> > übereinstimmen für [mm]q=\bruch{1}{2z}[/mm]. Daher konvergiert dein
> > Hauptteil für
> >
> > [mm]|q|=\left|\bruch{1}{2z}\right|<1 \gdw |z| > \bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > und divergiert für
> >
> > [mm]|q|=\left|\bruch{1}{2z}\right|>1 \gdw |z| < \bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > Also konvergiert sie außerhalb der Kreisscheibe
> > [mm]\overline{D_{1/2}(0)}[/mm]
>
> Hmm, na gut...
>
> Aber für die Berechnung meines Konvergenzgebietes ist das
> doch jetzt nicht nötig, oder?
Nötig, nein. Mir persönlich fällt diese Überlegung leichter, als den [mm] $\limsup$ [/mm] auszurechnen. Und es stellt den Zusammenhang zur Konvergenz von Reihen im Allgemeinen her.
Die Formeln mit dem [mm] $\limsup$ [/mm] sind immer richtig. Manchmal gibt es andere, einfache Wege, das Konvergenzgebiet zu bestimmen.
> > Das ist genau die Bedeutung der Zahl r in der Bedingung [mm]r <|z-a|
> > der Hauptteil konvergiert nur für [mm]|z-a|>R[/mm], der Nebenteil
> > nur für [mm]|z-a|
>
> Du meinst im Hauptteil |z-a|>r, oder?
Ja, jetzt hab ich die Shift-Taste zu lange festgehalten
>
> Kann ich jetzt nicht einfach wie folgt hingehen:
>
> Laurentreihen konvergieren stets auf einem Kreisgebiet
> [mm]K(a,r,R)= \{ z\in\IC: r<|z-a|
>
> Nun einfach r und R wie ich es gemacht habe berechnen, und
> mitsamt Entwicklungspunkt in r<|z-a|<R einsetzen?
>
> Muss ich überhaupt noch erwähnen, dass Nebenteil in [mm]D_R(a)[/mm]
> und Hauptteil außerhalb von [mm]\overline{D_r(a)}[/mm]
> konvergieren?
Nein, denn das ist äquivalent. Aber du solltest verstehen, dass die eine Hälfte $r<|z-a|$ von der Konvergenz des Hauptteils, die andere $|z-a|<R$ von der Konvergenz des Nebenteils herrührt.
> > Das liegt daran, dass im Nebenteil nur
> > positive Potenzen von [mm](z-a)[/mm] stehen, im Hauptteil nur
> > negative.
>
> Diesen Zusammenhang versteh ich irgendwie nicht...
Ich nehme mal der Einfachheit halber den a=0 an, da wird es klarer.
Der Nebenteil ist ein übliche Potenzreihe der Form
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} c_n z^n [/mm] $
Wenn diese Reihe für einen bestimmten Wert [mm] $z=z_1$ [/mm] konvergiert, so konvergiert sie auch für alle [mm] z_2 [/mm] mit [mm] $|z_2|<|z_1|$. [/mm] Denn dann ist
[mm] z_2^n = \left(\bruch{z_2}{z_1}\right)^n z_1^n [/mm]
und da wegen [mm] $|z_2|<|z_1|$ [/mm] auch [mm] $\left|\bruch{z_2}{z_1}\right| [/mm] < 1$ ist, ist für $n> 0$
[mm] |z_2^n| < |z_1^n| [/mm],
und somit ist die Reihe für [mm] $z=z_1$ [/mm] eine konvergente Majorante der Reihe für [mm] $z=z_2$.
[/mm]
Wenn wir uns jetzt den Hauptteil anschauen,
[mm]\summe_{n=-1}^{-\infty} c_n z^n [/mm]
so funktioniert dieses Argument nicht, denn $n<0$. Aber es gilt: Konvergiert diese Reihe für ein [mm] $z=z_1$, [/mm] so konvergiert sie auch für alle [mm] z_2 [/mm] mit [mm] $|z_2|\red{>}|z_1|$. [/mm] Denn dann ist wegen $n<0$:
[mm] |z_2^n| < |z_1^n| [/mm].
Also ist die Reihe für [mm] $z=z_1$ [/mm] wieder eine konvergente Majorante der Reihe für [mm] $z=z_2$ [/mm] mit [mm] $|z_2|>|z_1|$.
[/mm]
Es liegt also daran, dass für positive Werte von n (Nebenteil) [mm] $|z|^n$ [/mm] kleiner wird, wenn $|z|$ kleiner wird, aber für negative Werte von n (Hauptteil) [mm] $\bruch{1}{|z|^n}$ [/mm] kleiner wird, wenn $|z|$ größer wird.
> Oh mei, ist das kompliziert...
Ungewohnt. Irgendwann wird dir das einfach vorkommen
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 So 08.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!
> Nein, denn das ist äquivalent. Aber du solltest verstehen,
> dass die eine Hälfte [mm]r<|z-a|[/mm] von der Konvergenz des
> Hauptteils, die andere [mm]|z-a|
> Nebenteils herrührt.
Hmm...
Konvergenz war noch nie mein Lieblingsthema...
> Ich nehme mal der Einfachheit halber den a=0 an, da wird es
> klarer.
>
> Der Nebenteil ist ein übliche Potenzreihe der Form
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_n z^n[/mm]
>
> Wenn diese Reihe für einen bestimmten Wert [mm]z=z_1[/mm]
> konvergiert, so konvergiert sie auch für alle [mm]z_2[/mm] mit
> [mm]|z_2|<|z_1|[/mm]. Denn dann ist
>
> [mm]z_2^n = \left(\bruch{z_2}{z_1}\right)^n z_1^n[/mm]
>
> und da wegen [mm]|z_2|<|z_1|[/mm] auch [mm]\left|\bruch{z_2}{z_1}\right| < 1[/mm]
> ist, ist für [mm]n> 0[/mm]
>
> [mm]|z_2^n| < |z_1^n| [/mm],
>
> und somit ist die Reihe für [mm]z=z_1[/mm] eine konvergente
> Majorante der Reihe für [mm]z=z_2[/mm].
>
> Wenn wir uns jetzt den Hauptteil anschauen,
>
> [mm]\summe_{n=-1}^{-\infty} c_n z^n[/mm]
>
> so funktioniert dieses Argument nicht, denn [mm]n<0[/mm]. Aber es
> gilt: Konvergiert diese Reihe für ein [mm]z=z_1[/mm], so konvergiert
> sie auch für alle [mm]z_2[/mm] mit [mm]|z_2|\red{>}|z_1|[/mm]. Denn dann ist
> wegen [mm]n<0[/mm]:
>
> [mm]|z_2^n| < |z_1^n| [/mm].
>
> Also ist die Reihe für [mm]z=z_1[/mm] wieder eine konvergente
> Majorante der Reihe für [mm]z=z_2[/mm] mit [mm]|z_2|>|z_1|[/mm].
>
> Es liegt also daran, dass für positive Werte von n
> (Nebenteil) [mm]|z|^n[/mm] kleiner wird, wenn [mm]|z|[/mm] kleiner wird, aber
> für negative Werte von n (Hauptteil) [mm]\bruch{1}{|z|^n}[/mm]
> kleiner wird, wenn [mm]|z|[/mm] größer wird.
So wirklich blick ich da immer noch nicht durch...
Ich werde da einfach morgen oder so noch mal drüber gucken, wenn mein Kopf wieder ein bisschen freier ist.
Ich hoffe, es ist nicht schlimm, wenn ich dann immer noch ein paar Fragen dazu habe...
Erstmal bin ich froh darüber, die Aufgaben gelöst zu haben, weil meine Klausurzulassung z.T. davon abhängt ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
LG und einen schöne (Fussball-)Abend!
Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> > > Das liegt daran, dass im Nebenteil nur
> > > positive Potenzen von [mm](z-a)[/mm] stehen, im Hauptteil nur
> > > negative.
> > Diesen Zusammenhang versteh ich irgendwie nicht...
> Ich nehme mal der Einfachheit halber den a=0 an, da wird es
> klarer.
>
> Der Nebenteil ist ein übliche Potenzreihe der Form
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_n z^n[/mm]
>
> Wenn diese Reihe für einen bestimmten Wert [mm]z=z_1[/mm]
> konvergiert, so konvergiert sie auch für alle [mm]z_2[/mm] mit
> [mm]|z_2|<|z_1|[/mm]. Denn dann ist
>
> [mm]z_2^n = \left(\bruch{z_2}{z_1}\right)^n z_1^n[/mm]
>
> und da wegen [mm]|z_2|<|z_1|[/mm] auch [mm]\left|\bruch{z_2}{z_1}\right| < 1[/mm]
> ist, ist für [mm]n> 0[/mm]
>
> [mm]|z_2^n| < |z_1^n| [/mm],
>
> und somit ist die Reihe für [mm]z=z_1[/mm] eine konvergente
> Majorante der Reihe für [mm]z=z_2[/mm].
>
> Wenn wir uns jetzt den Hauptteil anschauen,
>
> [mm]\summe_{n=-1}^{-\infty} c_n z^n[/mm]
>
> so funktioniert dieses Argument nicht, denn [mm]n<0[/mm]. Aber es
> gilt: Konvergiert diese Reihe für ein [mm]z=z_1[/mm], so konvergiert
> sie auch für alle [mm]z_2[/mm] mit [mm]|z_2|\red{>}|z_1|[/mm]. Denn dann ist
> wegen [mm]n<0[/mm]:
>
> [mm]|z_2^n| < |z_1^n| [/mm].
>
> Also ist die Reihe für [mm]z=z_1[/mm] wieder eine konvergente
> Majorante der Reihe für [mm]z=z_2[/mm] mit [mm]|z_2|>|z_1|[/mm].
>
> Es liegt also daran, dass für positive Werte von n
> (Nebenteil) [mm]|z|^n[/mm] kleiner wird, wenn [mm]|z|[/mm] kleiner wird, aber
> für negative Werte von n (Hauptteil) [mm]\bruch{1}{|z|^n}[/mm]
> kleiner wird, wenn [mm]|z|[/mm] größer wird.
Oh weh, also das mit der Majorante finde ich sehr schwer.
Sowieso die ganze Begründung mit den negativen Potenzen und positiven Potenzen.
> Nein, denn das ist äquivalent. Aber du solltest verstehen,
> dass die eine Hälfte [mm]r<|z-a|[/mm] von der Konvergenz des
> Hauptteils, die andere [mm]|z-a|
> Nebenteils herrührt.
Ich hab mir das jetzt einfach mal so erklärt:
In meiner Vorlesung steht, dass der Nebenteil in [mm] D_R(a) [/mm] konvergiert.
So, nun ist [mm] D_R(a) [/mm] ja die offene Kreisschreibe um den Mittelpunkt a.
Also sind das genau alle Punkte z, die vom Mittelpunkt a einen Abstand haben, der kleiner ist als R.
Daher kommt |z-a|<R.
Und dann steht in meiner Vorlesung, dass der Hauptteil außerhalb von [mm] \overline{D_r(a)} [/mm] konvergiert.
Du hast ja gesagt, dass wenn ich das zeichne, dann zeichne ich einen Kreis mit Radius r um den Punkt a, und [mm] \overline{D_r(a)} [/mm] sind dann alle Punkte, die außerhalb dieses Kreises liegen.
Und das sind ja wieder alle Punkte, die von a einen Abstand haben der größer ist als r.
Daher kommt |z-a|>r.
Reicht das nicht fürs Verständnis?
Oder muss ich auch noch verstehen, warum der Nebenteil innerhalb von [mm] D_R(a) [/mm] konvergiert und der Hauptteil außerhalb von [mm] \overline{D_r(a)}?
[/mm]
Beim Nebenteil geht's ja vielleicht noch.
Weil das ist ja eine ganz normale Potenzreihe mit ganz normalem Konvergenzradius und die konvergieren ja immer in der offenen Kreisscheibe.
Aber warum... keine Ahnung...
Ist das wichtig?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 11.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Oh weh, also das mit der Majorante finde ich sehr schwer.
Mach dir nichts draus, ich habe auch eine Weile dafür gebraucht
> Ich hab mir das jetzt einfach mal so erklärt:
>
> In meiner Vorlesung steht, dass der Nebenteil in [mm]D_R(a)[/mm]
> konvergiert.
> So, nun ist [mm]D_R(a)[/mm] ja die offene Kreisschreibe um den
> Mittelpunkt a.
> Also sind das genau alle Punkte z, die vom Mittelpunkt a
> einen Abstand haben, der kleiner ist als R.
> Daher kommt |z-a|<R.
>
> Und dann steht in meiner Vorlesung, dass der Hauptteil
> außerhalb von [mm]\overline{D_r(a)}[/mm] konvergiert.
> Du hast ja gesagt, dass wenn ich das zeichne, dann zeichne
> ich einen Kreis mit Radius r um den Punkt a, und
> [mm]\overline{D_r(a)}[/mm] sind dann alle Punkte, die außerhalb
> dieses Kreises liegen.
> Und das sind ja wieder alle Punkte, die von a einen
> Abstand haben der größer ist als r.
> Daher kommt |z-a|>r.
>
> Reicht das nicht fürs Verständnis?
Das darfst du mich nicht fragen, du musst es verstehen!
Wie du das machst, musst du selber rausfinden. Verständnis ist immer ein gut Teil Gewohnheit.
> Oder muss ich auch noch verstehen, warum der Nebenteil
> innerhalb von [mm]D_R(a)[/mm] konvergiert und der Hauptteil
> außerhalb von [mm]\overline{D_r(a)}?[/mm]
> Beim Nebenteil geht's ja vielleicht noch.
> Weil das ist ja eine ganz normale Potenzreihe mit ganz
> normalem Konvergenzradius und die konvergieren ja immer in
> der offenen Kreisscheibe.
> Aber warum... keine Ahnung...
Da funktioniert die Überlegung mit der geometrischen Reihe als konvergente Majorante.
> Ist das wichtig?
Wichtig ist, dass du weisst, dass der Konvergenzbereich einer Potenzreihe so aussieht.
Vielleicht noch eine letzte Bemerkung zum Konvergenzbereich des Hauptteils (ich nehme wieder a=0):
Wenn du die Abbildung [mm] $z\mapsto \bruch{1}{z}$ [/mm] anwendest, also die Laurententwicklung von f(1/z) betrachtest, dann tauschen im Vergleich zu f(z) Haupt- und Nebenteil die Rollen, denn
[mm] \left(\bruch{1}{z}\right)^n = z^{-n} [/mm]
und daher folgt aus
[mm]f(z) = \summe_{n=0}^\infty a_n z^n + \summe_{n=-1}^{-\infty} a_n z^n[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{z}) = \summe_{n=0}^\infty a_n z^{-n} + \summe_{n=-1}^{-\infty} a_n z^{-n} = \summe_{n=-1}^{-\infty} a_{-n} z^{n} + \summe_{n=0}^{\infty} a_{-n} z^{n}[/mm]
Also ist der Hauptteil von f(z) gleich dem Nebenteil von f(1/z) und umgekehrt.
Auf die Konvergenzbereiche angewandt: der Hauptteil von f(z) konvergiert für $|z|>r [mm] \gdw \left|\bruch{1}{z}\right| [/mm] < r$, denn der Nebenteil von $f(1/z)$ konvergiert für [mm] $\left|\bruch{1}{z}\right| [/mm] < r$.
Das heisst: die Frage nach der Konvergenz des Hauptteils kann man mit dieser Überlegung zurückführen auf die "normale" Konvergenz einer Potenzreihe, nur mit 1/z statt z. (womit ich wieder bei den psoitiven und negativen Potenzen wäre).
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 08.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Mir ist gerade noch was aufgefallen, was mich doch wieder zu dem Ergebnis kommen lässt, dass die Konvergenzradien doch gleich sind
Also R ist ja der Konvergenzradius des Nebenteils. Den hab ich ja als R=2 berechnet.
Und in meinem Buch steht, dass der Konvergenzradius des Hauptteils [mm] \bruch{1}{r} [/mm] ist.
r hab ich ja als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] berechnet. dann wäre der Konvergenzraidus des Hauptteils aber doch [mm] \bruch{1}{r}=\bruch{1}{\bruch{1}{2}}=2.
[/mm]
Und damit der gleiche Konvergenzradius wie oben...
Ohwei, ich versteh grad gar nix mehr...
LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 08.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Ich glaube, das sind verschiedene Konventionen. Wie hat
> dein Buch denn r definiert? Mit dem Limes im Zähler oder im
> Nenner?
Also zum Nebenteil steht in menem Buch folgendes:
Der Nebenteil einer Laurent-Reihe hat als Potenzreihe einen Konvergenzradius [mm] R\in[0,+\infty]
[/mm]
Mehr steht dazu nicht.
In meinen Aufzeichnungen steht dann noch:
Der Konvergenzbereich einer Laurent-Reihe ist stets ein Kreisring. Der Nebenteil hat einen Konvergenzkreis [mm] D_R(a)
[/mm]
Zum Hauptteil steht im Buch:
Für den Hauptteil betrachten wir die Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}w^n [/mm] , ihren Konvergenzradius bezeichnen wir mit [mm] \bruch{1}{r}\in[0,+\infty] [/mm] . Der Hauptteil der Laurent-Reihe konvergiert dann auf [mm] \IC-\overline{D_r(a)} [/mm]
Was ich daran jetzt nicht so ganz verstehe, ist die Potenzreihe, die da betrachtet wird. Ich dachte man nimmt dazu dann [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n} [/mm] ? Ist denn der Konvergenzradius von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n} [/mm] auch [mm] \bruch{1}{r}? [/mm] Weil in meinem ersten Posting habe ich den ja genommen und in die Formel von Cauchy-Hadamard eingesetzt um an die Formel zu r zu kommen. Und das hat ja dann auch geklappt, obwohl ich eben die Summe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n} [/mm] statt die aus dem Buch betrachtet habe...
> Ich finde folgende Beschreibung am besten:
>
> Eine Laurentreihe mit Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm] konvergiert in
> einem offenen Kreisring
>
> [mm]\{ z\in \IC \mid r < |z-z_0| < R \}[/mm] mit [mm]r,R\in [0,\infty][/mm].
Ist das Gleichbedeutend mit folgender meiner Aufzeichnungen:
Der Konvergenzbereich einer Laurent-Reihe ist stets ein Kreisring.
Kreisringe haben wir definiert als K(a,r,R)={ [mm] z\in\IC [/mm] : r<|z-a|<R }.
Also ist mein Konvergenzbereich von der Form r<|z-a|<R.
Es genügt also einfach, wie ich es gemacht habe, die Werte für r und R zu berechnen?
> Der Nebenteil konvergiert im Inneren einer Kreisscheibe vom
> Radius R mit
>
> [mm]R = \bruch{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}[/mm]
>
> Der Hauptteil konvergiert im Äußeren der Kreisscheibe vom
> Radius r mit
>
> [mm]r = \limsup_{n\to\infty} |a_{-n}|^{1/n}}[/mm]
Ich denke, das werde ich einfach noch zu meinen Aufzeichnungen hinzufügen (wenn ich darf), damit der Tutor weiß, was ich gemacht habe 
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 08.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
>
>
> > Ich glaube, das sind verschiedene Konventionen. Wie hat
> > dein Buch denn r definiert? Mit dem Limes im Zähler oder im
> > Nenner?
>
>
>
> Also zum Nebenteil steht in menem Buch folgendes:
>
> Der Nebenteil einer Laurent-Reihe hat als Potenzreihe einen
> Konvergenzradius [mm]R\in[0,+\infty][/mm]
>
>
>
> Mehr steht dazu nicht.
>
> In meinen Aufzeichnungen steht dann noch:
>
> Der Konvergenzbereich einer Laurent-Reihe ist stets ein
> Kreisring. Der Nebenteil hat einen Konvergenzkreis [mm]D_R(a)[/mm]
>
>
>
> Zum Hauptteil steht im Buch:
>
> Für den Hauptteil betrachten wir die Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}w^n[/mm] , ihren Konvergenzradius
> bezeichnen wir mit [mm]\bruch{1}{r}\in[0,+\infty][/mm] . Der
> Hauptteil der Laurent-Reihe konvergiert dann auf
> [mm]\IC-\overline{D_r(a)}[/mm]
>
>
>
> Was ich daran jetzt nicht so ganz verstehe, ist die
> Potenzreihe, die da betrachtet wird. Ich dachte man nimmt
> dazu dann [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n}[/mm] ? Ist denn
> der Konvergenzradius von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n}[/mm] auch [mm]\bruch{1}{r}?[/mm]
> Weil in meinem ersten Posting habe ich den ja genommen und
> in die Formel von Cauchy-Hadamard eingesetzt um an die
> Formel zu r zu kommen. Und das hat ja dann auch geklappt,
> obwohl ich eben die Summe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n}[/mm] statt die aus dem
> Buch betrachtet habe...
Das Problem ist Konvention bzw. Notation.
Im Buch wird die Reihe
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}w^n[/mm]
betrachtet, oder anders geschrieben
[mm]\summe_{n=-1}^{-\infty}a_{\red{+}n}w^{\red{-}n}[/mm]
Du siehst, das Vorzeichen im Exponenten von w ist anders als bei
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n} = \summe_{n=-1}^{_\infty}a_{\red{+}n} (z-a)^{\red{+}n} [/mm]
Wenn du vergleichst, ergibt sich [mm] $\bruch{1}{w} [/mm] = (z-a)$, daher ist im Buch der Konvergenzradisu 1/r statt r.
Das ist eben nur Konvention; am besten ist es, bei einer Notation zu bleiben.
> > Ich finde folgende Beschreibung am besten:
> >
> > Eine Laurentreihe mit Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm] konvergiert in
> > einem offenen Kreisring
> >
> > [mm]\{ z\in \IC \mid r < |z-z_0| < R \}[/mm] mit [mm]r,R\in [0,\infty][/mm].
>
>
>
> Ist das Gleichbedeutend mit folgender meiner
> Aufzeichnungen:
>
> Der Konvergenzbereich einer Laurent-Reihe ist stets ein
> Kreisring.
Ja.
>
>
>
> Kreisringe haben wir definiert als [mm]K(a,r,R)=\{ z\in\IC : r<|z-a|
> Also ist mein Konvergenzbereich von der Form r<|z-a|<R.
> Es genügt also einfach, wie ich es gemacht habe, die Werte
> für r und R zu berechnen?
Richtig.
> > Der Nebenteil konvergiert im Inneren einer Kreisscheibe vom
> > Radius R mit
> >
> > [mm]R = \bruch{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}[/mm]
> >
> > Der Hauptteil konvergiert im Äußeren der Kreisscheibe vom
> > Radius r mit
> >
> > [mm]r = \limsup_{n\to\infty} |a_{-n}|^{1/n}}[/mm]
>
> Ich denke, das werde ich einfach noch zu meinen
> Aufzeichnungen hinzufügen (wenn ich darf), damit der Tutor
> weiß, was ich gemacht habe
Klar darst du. Das steht überall in den Büchern
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Mo 09.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nicole!
> > Das Problem ist Konvention bzw. Notation.
> >
> > Im Buch wird die Reihe
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}w^n[/mm]
> >
> > betrachtet, oder anders geschrieben
> >
> > [mm]\summe_{n=-1}^{-\infty}a_{\red{+}n}w^{\red{-}n}[/mm]
> >
> > Du siehst, das Vorzeichen im Exponenten von w ist anders
> > als bei
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n} = \summe_{n=-1}^{_\infty}a_{\red{+}n} (z-a)^{\red{+}n}[/mm]
>
>
>
> Hmm, warum ist denn das gleich:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=-1}^{_\infty}a_{\red{+}n} (z-a)^{\red{+}n}[/mm]
Sorry, ich meinte
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-a)^{-n} = \summe_{n=-1}^{\blue{-}\infty}a_{\red{+}n} (z-a)^{\red{+}n}[/mm]
(Wieder die blöde Shift-Taste, ich hatte _ statt - getippt. Dadurch wurde aus dem Minus ein Subskript und das [mm] $\infty$-Zeichen [/mm] nur eine Nummer kleienr dargestellt )
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Auch hier vielen Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Hier meine Überlegungen zur zweiten Teilaufgabe.
Am Ende musste ich allerdings ein bisschen tricksen, weil ich nicht wusste, wie ich weiter rechnen sollte, vielleicht kannst du mir da noch einen Tipp geben.
Nebenteil
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{3^n+1}(z-y)^n [/mm] mit [mm] a_n=\bruch{1}{3^n+1}
[/mm]
[mm] R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{3^n+1}|}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{|1|}{|3^n+1|}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{3^n+1}}} [/mm] da [mm] 3^n [/mm] größer 0 und somit auch [mm] 3^n+1
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{\wurzel[n]{1}}{\wurzel[n]{3^n+1}}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{\wurzel[n]{3^n+1}}}}
[/mm]
So, nun hab ich ein bisschen geschummelt, weil ich nicht wusste, wie ich weiter rechnen sollte.
Der Limes superior ist bei Folgen (und das sind die [mm] a_n [/mm] doch, oder?) der größte Häufungswert.
Also hab ich mir die Funktion einfach mal zeichnen lassen, und festgestellt, dass für [mm] n\to\infty [/mm] der Grenzwert = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ist.
Und ein Häufungswert ist ja ein Wert, der ein Grenzwert ist.
Also hab ich gesagt, der Limes Superior von [mm] \bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{\wurzel[n]{3^n+1}}}} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Als Begründung würde das aber nicht reichen, oder?
Wahrscheinlich muss ich den Grenzwert berechnen, z.B. mit dem Wurzelkriterium, oder?
Damit wäre der Konvergenzradius des Nebenteils [mm] R=\bruch{1}{\bruch{1}{3}}=3 [/mm] und der Konvergenzkreis [mm] D_3(0).
[/mm]
Hauptteil
[mm] \summe_{n=-1}^{-\infty}\bruch{1}{3^n+1}(z-y)^n=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^{-n}+1}(z-y)^{-n} [/mm] mit [mm] a_{-n}=\bruch{1}{3^{-n}+1}
[/mm]
[mm] r=\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{-n}|}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{3^{-n}+1}|}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{|1|}{|3^{-n}+1|}}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{3^{-n}+1}} [/mm] da [mm] 3^{-n} [/mm] größer 0 und somit auch [mm] 3^{-n}+1
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{\wurzel[n]{1}}{\wurzel[n]{3^{-n}+1}}}
[/mm]
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{\wurzel[n]{3^{-n}+1}}}
[/mm]
So, auch hier bin ich dann nach dem selben Muster vorgegangen wie oben: Zeichnen --> Grenzwert --> Häufungswert
In diesem Falle ist der Limes Superior dann 1
[mm] =\limes sup_{n\rightarrow\infty}{1}=1
[/mm]
Damit wäre der Konvergenzradius des Hauptteils r=1 und der Konvergenzkreis [mm] D_1(0).
[/mm]
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Sa 07.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
> Hier meine Überlegungen zur zweiten Teilaufgabe.
>
> Am Ende musste ich allerdings ein bisschen tricksen, weil
> ich nicht wusste, wie ich weiter rechnen sollte, vielleicht
> kannst du mir da noch einen Tipp geben.
>
>
>
> Nebenteil
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{3^n+1}(z-y)^n[/mm] mit
> [mm]a_n=\bruch{1}{3^n+1}[/mm]
>
> [mm]R=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{3^n+1}|}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{|1|}{|3^n+1|}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{3^n+1}}}[/mm]
> da [mm]3^n[/mm] größer 0 und somit auch [mm]3^n+1[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{\wurzel[n]{1}}{\wurzel[n]{3^n+1}}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{\wurzel[n]{3^n+1}}}}[/mm]
>
> So, nun hab ich ein bisschen geschummelt, weil ich nicht
> wusste, wie ich weiter rechnen sollte.
>
> Der Limes superior ist bei Folgen (und das sind die [mm]a_n[/mm]
> doch, oder?) der größte Häufungswert.
>
> Also hab ich mir die Funktion einfach mal zeichnen lassen,
> und festgestellt, dass für [mm]n\to\infty[/mm] der Grenzwert =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ist.
> Und ein Häufungswert ist ja ein Wert, der ein Grenzwert
> ist.
> Also hab ich gesagt, der Limes Superior von
> [mm]\bruch{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{\wurzel[n]{3^n+1}}}}[/mm]
> ist [mm]\bruch{1}{3}.[/mm]
Du meinst den [mm] $\limsup$ [/mm] von [mm] $\bruch{1}{\wurzel[n]{3^n+1}}$, [/mm] nicht vom ganzen Bruch. Aber sonst ist es richtig: Wenn der Grenzwert existiert, dann ist er gleich dem Limes superior.
(Den Limes superior braucht man zum Beispiel für den Fall, dass jeder zweite Term 0 ist, wie in
[mm]\summe_{n=1}^\infty z^2 [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Dann hat die Folge nämlich keinen Grenzwert, wohl aber einen $\limsup$.)
> Ist das soweit richtig?
> Als Begründung würde das aber nicht reichen, oder?
> Wahrscheinlich muss ich den Grenzwert berechnen, z.B. mit
> dem Wurzelkriterium, oder?
Wie du mit dem Grenzwert umgehst, ist eine Frage der Übung. Ich hätte gesagt, dass $3^n$ sowieso viel größer als 1 wird und die 1 für die Grenzwertbetrachtung vernachlässigt werden kann. Dann bleibt $\bruch{1}{\wurzel[n]{3^n}} = \bruch{1}{3}$ übrig. Die korrekte Betrachtung geht etwa so:
$\wurzel[n]{3^n+1}} = \wurzel[n]{3^n} * \wurzel[n]{1+3^{-n}} \implies \bruch{1}{\wurzel[n]{3^n+1}} = \bruch{\wurzel[n]{3^{-n}}}{\wurzel[n]{1+3^{-n}}}$
Da sowohl der Grenzwert $\lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{3^{-n}} = \bruch{1}{3}$ als auch der Grenzwert $\lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{1+3^{-n}} = 1$ existieren, darf ich sie getrennt berechnen und bekomme insgesamt $\bruch{1}{3}$ heraus.
> Damit wäre der Konvergenzradius des Nebenteils
> [mm]R=\bruch{1}{\bruch{1}{3}}=3[/mm] und der Konvergenzkreis
> [mm]D_3(0).[/mm]
> Hauptteil
>
> [mm]\summe_{n=-1}^{-\infty}\bruch{1}{3^n+1}(z-y)^n=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^{-n}+1}(z-y)^{-n}[/mm]
> mit [mm]a_{-n}=\bruch{1}{3^{-n}+1}[/mm]
>
> [mm]r=\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{-n}|}[/mm]
>
> [mm]=\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{3^{-n}+1}|}[/mm]
>
> [mm]=\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{|1|}{|3^{-n}+1|}}[/mm]
>
> [mm]=\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{3^{-n}+1}}[/mm]
> da [mm]3^{-n}[/mm] größer 0 und somit auch [mm]3^{-n}+1[/mm]
>
> [mm]=\limsup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{\wurzel[n]{1}}{\wurzel[n]{3^{-n}+1}}}[/mm]
>
> [mm]=\limsup_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{\wurzel[n]{3^{-n}+1}}}[/mm]
>
> So, auch hier bin ich dann nach dem selben Muster
> vorgegangen wie oben: Zeichnen --> Grenzwert -->
> Häufungswert
> In diesem Falle ist der Limes Superior dann 1
>
> [mm]=\limsup_{n\rightarrow\infty}{1}=1[/mm]
>
> Damit wäre der Konvergenzradius des Hauptteils r=1 und der
> Konvergenzkreis [mm]D_1(0).[/mm]
Wiederum: konvergent außerhalb von [mm] $\overline{D_1(0)}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Die korrekte Betrachtung geht etwa so:
>
> [mm]\wurzel[n]{3^n+1}} = \wurzel[n]{3^n} * \wurzel[n]{1+3^{-n}} \implies \bruch{1}{\wurzel[n]{3^n+1}} = \bruch{\wurzel[n]{3^{-n}}}{\wurzel[n]{1+3^{-n}}}[/mm]
>
> Da sowohl der Grenzwert [mm]\lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{3^{-n}} = \bruch{1}{3}[/mm]
> als auch der Grenzwert [mm]\lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{1+3^{-n}} = 1[/mm]
> existieren, darf ich sie getrennt berechnen und bekomme
> insgesamt [mm]\bruch{1}{3}[/mm] heraus.
Hierzu habe ich nochmal kurz eine Frage:
Die ersten beiden Umformungen sind mir klar.
Allerdings kann ich die Grenzwertberechnung nicht kann nachvollziehen:
[mm] \wurzel[n]{3^{-n}} [/mm] kann ich ja umschreiben in [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{3^n}}
[/mm]
Wenn ich nun n gegen Unendlich laufen lasse, dann geht der ganze Bruch unter der Wurzel gegen 0, weil ich ja 1 durch etwas ganz ganz großes teile.
Und die n-te Wurzel aus 0 ist doch auch 0. Wie kommst du für diesen Term auf den Grenzwert von [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ?
Und analog zum zweiten Grenzwert:
Da erhalte ich dann [mm] \wurzel[n]{1+3^{-n}}= \wurzel[n]{1+\bruch{1}{3^n}}
[/mm]
Grenzwert darauf anwenden liefert [mm] \wurzel[n]{1+0}=\wurzel[n]{1}=1
[/mm]
Das hast du ja auch.
Aber ich würde dann im Gesamtem auf [mm] \bruch{0}{1}=0 [/mm] kommen.
Wo liegt mein Fehler?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Mo 09.06.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Nadine,
> [mm]\wurzel[n]{3^{-n}}[/mm] kann ich ja umschreiben in
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{3^n}}[/mm]
>
> Wenn ich nun n gegen Unendlich laufen lasse, dann geht der
> ganze Bruch unter der Wurzel gegen 0, weil ich ja 1 durch
> etwas ganz ganz großes teile.
>
> Und die n-te Wurzel aus 0 ist doch auch 0. Wie kommst du
> für diesen Term auf den Grenzwert von [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ?
Achtung, diese Umformung ist nicht erlaubt, da du den Grenzwert bezüglich $n$ _nicht_ ''stufenweise'' ziehen darfst! Aber du kannst hier die $n$-te Wurzel als Exponent [mm] $\frac1n$ [/mm] schreiben, also:
[mm] \sqrt[n]{3^{-n}} = (3^{-n})^{\frac1n} = 3^{-\frac{n}{n}} = 3^{-1} = \frac13[/mm]
>
> Und analog zum zweiten Grenzwert:
>
> Da erhalte ich dann [mm]\wurzel[n]{1+3^{-n}}= \wurzel[n]{1+\bruch{1}{3^n}}[/mm]
>
> Grenzwert darauf anwenden liefert
> [mm]\wurzel[n]{1+0}=\wurzel[n]{1}=1[/mm]
>
> Das hast du ja auch.
Auch das ist unsauber argumentiert. Aber da du ja weisst, dass [mm] 3^{-n} [/mm] gegen 0 strebt, kannst du [mm] 1+3^{-n} [/mm] nach oben abschätzen und daraus dann die $n$-te Wurzel ziehen.
LG, Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Danke!
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