Laurent-Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 So 30.12.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Laurentreihe von [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} [/mm] um [mm]z_0=0[/mm] auf Gebiet [mm]G1=\{z\in\IC \ \ | \ \ 0<|z|<1\}[/mm] und Gebiet [mm] G2=\{z\in\IC \ \ | \ \ 1<|z|\}[/mm] |
Hallo zusammen,
hab schon mal eine Partialbruchzerlegung gemacht:
[mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-1} + \bruch{C}{(z-1)^{2}}[/mm]
Die Faktoren A und C habe ich mit der Grenzwertmethode ermittelt zu [mm] A=C=1[/mm].
Den Faktor B habe ich durch einsetzen ermittelt [mm]B=-1[/mm]
Insgesamt ergibt sich dann:
[mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z} - \bruch{1}{z-1} + \bruch{1}{(z-1)^{2}}[/mm] Stimmt auch, hab' ich nachgerechnet.
Wie gehe ich jetzt weiter vor? Wie kann ich hier die Laurent-Reihe entwickeln?
Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Mo 31.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas!
> Entwickeln Sie die Laurentreihe von
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}}[/mm] um [mm]z_0=0[/mm] auf Gebiet
> [mm]G1=\{z\in\IC \ \ | \ \ 0<|z|<1\}[/mm] und Gebiet [mm]G2=\{z\in\IC \ \ | \ \ 1<|z|\}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> hab schon mal eine Partialbruchzerlegung gemacht:
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-1} + \bruch{C}{(z-1)^{2}}[/mm]
>
> Die Faktoren A und C habe ich mit der Grenzwertmethode
> ermittelt zu [mm]A=C=1[/mm].
>
> Den Faktor B habe ich durch einsetzen ermittelt [mm]B=-1[/mm]
>
> Insgesamt ergibt sich dann:
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z} - \bruch{1}{z-1} + \bruch{1}{(z-1)^{2}}[/mm]
> Stimmt auch, hab' ich nachgerechnet.
>
> Wie gehe ich jetzt weiter vor? Wie kann ich hier die
> Laurent-Reihe entwickeln?
Das kannst du so machen, aber dann musst du jeden Summanden einzeln entwickeln und die entstehenden Reihen addieren.
Einfacher ist diese Methode: du entwickelst die geometrische Reihe:
[mm] \bruch{1}{1-z} = \summe_{n=0}^\infty z^n [/mm]
Daher ist mit der ![[]](/images/popup.gif) Multiplikationsformel für absolut konvergente Reihen
[mm]\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z} * \left(\summe_{n=0}^\infty z^n \right) * \left(\summe_{k=0}^\infty z^k \right) = \bruch{1}{z} \summe_{n=0}^{\infty} \left( \summe_{k=0}^n 1\right) z^n = \summe_{n=1}^{\infty} (n+1) z^{n-1} [/mm].
Andere Methode:
[mm] \bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z} *\bruch{d}{dz} \bruch{1}{1-z} = \bruch{1}{z} *\bruch{d}{dz} *\summe_{n=0}^\infty z^n = \bruch{1}{z} *\summe_{n=1}^\infty n*z^{n-1} = \summe_{n=0}^\infty (n+1) z^{n-1} [/mm].
Die entstehende Reihe konvergiert im Kreisring [mm]G_1[/mm].
Für [mm]G_2[/mm] schreibst du
[mm] \bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z^3*\left(\bruch{1}{z}-1\right)^2} = \bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{\left(1-\bruch{1}{z}\right)^2} [/mm]
und machst die analoge Entwicklung für [mm]\bruch{1}{z}[/mm]. Das Ergebnis ist eine Laurentreihe mit verschwindendem Hauptteil, denn die Funktion ist in [mm]G_2[/mm] holomorph.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Wir behandeln zur Zeit auch gerade Laurent-Reihen, und da ich das überhaupt nicht verstehe,
stöber ich hier grad ein bisschen durchs Forum.
> Einfacher ist diese Methode: du entwickelst die
> geometrische Reihe:
>
> [mm]\bruch{1}{1-z} = \summe_{n=0}^\infty z^n[/mm]
>
> Daher ist
> [mm]\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z} * \left(\summe_{n=0}^\infty z^n \right) * \left(\summe_{k=0}^\infty z^k \right) = \bruch{1}{z} \summe_{n=0}^{\infty} \left( \summe_{k=0}^n 1\right) z^n = \summe_{n=1}^{\infty} (n+1) z^{n-1} [/mm].
>
> Die entstehende Reihe konvergiert im Kreisring [mm]G_1[/mm].
Woher weiß ich jetzt z.B. das die entstehende Reihe genau dort in dem Kreisring konvergiert?
In wie fern ist der Kreisring mit in die Berechnung eingeflossen?
> Für [mm]G_2[/mm] schreibst du
>
> [mm]\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z^3*\left(\bruch{1}{z}-1\right)^2} = \bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{\left(1-\bruch{1}{z}\right)^2}[/mm]
>
> und machst die analoge Entwicklung für [mm]\bruch{1}{z}[/mm]. Das
> Ergebnis ist eine Laurentreihe mit verschwindendem
> Hauptteil, denn die Funktion ist in [mm]G_2[/mm] holomorph.
Auch hier meine Frage, in wie fern der Kreisring auf die Berechnung Einfluss hat.
Weil warum kann ich für [mm] G_2 [/mm] nicht einfach die gleicht Rechnung nehmen wie für [mm] G_1 [/mm] auch?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Fr 06.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Wir behandeln zur Zeit auch gerade Laurent-Reihen, und da
> ich das überhaupt nicht verstehe,
> stöber ich hier grad ein bisschen durchs Forum.
>
>
>
> > Einfacher ist diese Methode: du entwickelst die
> > geometrische Reihe:
> >
> > [mm]\bruch{1}{1-z} = \summe_{n=0}^\infty z^n[/mm]
> >
> > Daher ist
>
> > [mm]\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z} * \left(\summe_{n=0}^\infty z^n \right) * \left(\summe_{k=0}^\infty z^k \right) = \bruch{1}{z} \summe_{n=0}^{\infty} \left( \summe_{k=0}^n 1\right) z^n = \summe_{n=1}^{\infty} (n+1) z^{n-1} [/mm].
>
> >
> > Die entstehende Reihe konvergiert im Kreisring [mm]G_1[/mm].
>
> Woher weiß ich jetzt z.B. das die entstehende Reihe genau
> dort in dem Kreisring konvergiert?
>
> In wie fern ist der Kreisring mit in die Berechnung
> eingeflossen?
Durch die Entwicklung der geometrischen Reihe [mm]\bruch{1}{1-z} = \summe_{n=0}^\infty z^n[/mm], die für $|z|<1$ konvergiert. Der Punkt z=0 ist ausgenommen wegen des zusätzlichen Faktors [mm] $\bruch{1}{z}$.
[/mm]
Alernativ kannst du auch das Quotientenkriterium auf die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1) z^{n-1} [/mm]
anwenden: das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Glieder ist:
[mm] \left|\bruch{(n+2)z^{n}}{(n+1)z^{n-1}}\right| = \bruch{n+2}{n+1} |z| \mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty} |z|[/mm].
Nach dem Quotientenkriterium konvergiert daher die Reihe für $|z|<1$, und wegen des ersten Terms [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] wieder nicht für z=0.
> > Für [mm]G_2[/mm] schreibst du
> >
> > [mm]\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z^3*\left(\bruch{1}{z}-1\right)^2} = \bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{\left(1-\bruch{1}{z}\right)^2}[/mm]
>
> >
> > und machst die analoge Entwicklung für [mm]\bruch{1}{z}[/mm]. Das
> > Ergebnis ist eine Laurentreihe mit verschwindendem
> > Hauptteil, denn die Funktion ist in [mm]G_2[/mm] holomorph.
>
> Auch hier meine Frage, in wie fern der Kreisring auf die
> Berechnung Einfluss hat.
>
> Weil warum kann ich für [mm]G_2[/mm] nicht einfach die gleicht
> Rechnung nehmen wie für [mm]G_1[/mm] auch?
Auch hier geht es wieder darum, wo die benutzte geometrische Reihe konvergiert. Diesmal nimmt man [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] an Stelle von z, und daher konvergiert die Reihe für
[mm] \left|\bruch{1}{z}\right| < 1 \gdw |z| > 1 [/mm].
Ganz allgemeine konvergiert die Laurentreihe im größten Kreisring, in dem keine Singularitäten liegen. Die Funktion
[mm] \bruch{1}{z*(1-z)^{2}} [/mm]
hat Pole in z=0 und z=1. Die beiden (offenen) Kreisringe, die gerade bis zu diesen beiden Punkten reichen, sind [mm] $G_1$ [/mm] und [mm] $G_2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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> Entwickeln Sie die Laurentreihe von
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}}[/mm] um [mm]z_0=0[/mm] auf Gebiet
> [mm]G1=\{z\in\IC \ \ | \ \ 0<|z|<1\}[/mm] und Gebiet [mm]G2=\{z\in\IC \ \ | \ \ 1<|z|\}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> hab schon mal eine Partialbruchzerlegung gemacht:
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-1} + \bruch{C}{(z-1)^{2}}[/mm]
>
> Die Faktoren A und C habe ich mit der Grenzwertmethode
> ermittelt zu [mm]A=C=1[/mm].
>
> Den Faktor B habe ich durch einsetzen ermittelt [mm]B=-1[/mm]
>
> Insgesamt ergibt sich dann:
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z} - \bruch{1}{z-1} + \bruch{1}{(z-1)^{2}}[/mm]
> Stimmt auch, hab' ich nachgerechnet.
>
> Wie gehe ich jetzt weiter vor? Wie kann ich hier die
> Laurent-Reihe entwickeln?
Die Laurentreihe entsteht natürlich als Summe der drei Reihen, die du aus deinen 3 Summanden erhältst.
Die erste Reihe ist schon fertig, nämlich [mm] \bruch{1}{z}.
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{z-1}=\bruch{1}{1-z} [/mm] fasst du nun als "Abkürzung" für eine geometrische unendliche Reihe auf:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}z^i [/mm] = [mm] 1+z+z^2+...=\bruch{1}{1-z} [/mm] für |z|<1
Zum letzten Summanden kommst du, indem du das letzte Ergebnis ableitest:
[mm] 1+2z+3z^2+4z^3+...=(\bruch{1}{1-z})'=\bruch{1}{(1-z)^2} [/mm] (innere Ableitung beachten) = [mm] \bruch{1}{(z-1)^2} [/mm] für |z|<1
.
Somit erhältst du als Ergebnis=
[mm] f(x)=\bruch{1}{z} +\summe_{i=0}^{\infty}(i+2)z^i [/mm] für |z|<1.
________________________
Für |z|>1 ergibt sich wieder aus dem ersen Summanden [mm] \bruch{1}{z}.
[/mm]
Für [mm] -\bruch{1}{z-1} [/mm] wendest du nun folgenden Trick an: Kürzen mit z. Das ergibt
[mm] -\bruch{1}{z-1}=\bruch{\bruch{1}{z}}{1-\bruch{1}{z}}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}.
[/mm]
Der letzte Teil kann aber wieder als geometrische Reihe geschrieben werden:
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^i, [/mm] da ja [mm] |\bruch{1}{z}|<1 [/mm] ist.
Somit wird der 2. Summand zu [mm] \bruch{1}{z}*\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^i=\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{z})^i
[/mm]
Leitest du nun wieder beide Seiten der letzten Beziehung ab, so ergibt sich:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{-i}{z^{i+1}}=(-\bruch{1}{z-1})'=\bruch{1}{(z-1)^2}
[/mm]
oder [mm] \bruch{1}{(z-1)^2}= \summe_{i=2}^{\infty}\bruch{-(i-1)}{z^i}.
[/mm]
Zusammen erhältst du nun
[mm] f(x)=\bruch{1}{z}+\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{z})^i-\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{(i-1)}{z^i}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{z}+\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{(2-i)}{z^i} [/mm] für |z|>1.
Rechne bitte nochmals alles nach, ich denke aber, das Verfahren ist klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Mo 31.12.2007 | | Autor: | ebarni |
hallo rainer, hallo HJKweseleit!
Zunächst einmal vielen, vielen Dank für eure ausführlichen Antworten.
Jetzt werde ich das Ganze mal in Ruhe durchrechnen, falls dann noch Fragen auftauchen, melde ich mich einfach noch Mal!
Ich wünsche euch beiden einen guten Rutsch, und alles, alles Gute für 2008!
Andreas
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Habe gerade einen Vorzeichenfehler in meiner Berechnung entdeckt. Hier nochmals der korrigierte Text (Änderungen in Rot).
> Entwickeln Sie die Laurentreihe von
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}}[/mm] um [mm]z_0=0[/mm] auf Gebiet
> [mm]G1=\{z\in\IC \ \ | \ \ 0<|z|<1\}[/mm] und Gebiet [mm]G2=\{z\in\IC \ \ | \ \ 1<|z|\}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> hab schon mal eine Partialbruchzerlegung gemacht:
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-1} + \bruch{C}{(z-1)^{2}}[/mm]
>
> Die Faktoren A und C habe ich mit der Grenzwertmethode
> ermittelt zu [mm]A=C=1[/mm].
>
> Den Faktor B habe ich durch einsetzen ermittelt [mm]B=-1[/mm]
>
> Insgesamt ergibt sich dann:
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{1}{z} - \bruch{1}{z-1} + \bruch{1}{(z-1)^{2}}[/mm]
> Stimmt auch, hab' ich nachgerechnet.
>
> Wie gehe ich jetzt weiter vor? Wie kann ich hier die
> Laurent-Reihe entwickeln?
Die Laurentreihe entsteht natürlich als Summe der drei Reihen, die du aus deinen 3 Summanden erhältst.
Die erste Reihe ist schon fertig, nämlich [mm] \bruch{1}{z}.
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{z-1}=\bruch{1}{1-z} [/mm] fasst du nun als "Abkürzung" für eine geometrische unendliche Reihe auf:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}z^i [/mm] = [mm] 1+z+z^2+...=\bruch{1}{1-z} [/mm] für |z|<1
Zum letzten Summanden kommst du, indem du das letzte Ergebnis ableitest:
[mm] 1+2z+3z^2+4z^3+...=(\bruch{1}{1-z})'=\bruch{1}{(1-z)^2} [/mm] (innere Ableitung beachten) = [mm] \bruch{1}{(z-1)^2} [/mm] für |z|<1
.
Somit erhältst du als Ergebnis=
[mm] f(x)=\bruch{1}{z} +\summe_{i=0}^{\infty}(i+2)z^i [/mm] für |z|<1.
Das lässt sich zusammenfassen zu
[mm] f(x)=\summe_{i=-1}^{\infty}(i+2)z^i [/mm] für |z|<1.
________________________
Für |z|>1 ergibt sich wieder aus dem ersen Summanden [mm] \bruch{1}{z}.
[/mm]
Für [mm] -\bruch{1}{z-1} [/mm] wendest du nun folgenden Trick an: Kürzen mit z. Das ergibt
[mm]-\bruch{1}{z-1}=[/mm] - [mm]\bruch{\bruch{1}{z}}{1-\bruch{1}{z}}=[/mm] - [mm]\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}[/mm].
Der letzte Teil kann aber wieder als geometrische Reihe geschrieben werden:
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^i, [/mm] da ja [mm] |\bruch{1}{z}|<1 [/mm] ist.
Somit wird der 2. Summand zu - [mm]\bruch{1}{z}*\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^i=[/mm]-[mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{z})^i=-\bruch{1}{z-1}[/mm]
Leitest du nun wieder beide Seiten der letzten Beziehung ab, so ergibt sich:
-[mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{-i}{z^{i+1}}=(-\bruch{1}{z-1})'=\bruch{1}{(z-1)^2}[/mm]
oder [mm]\bruch{1}{(z-1)^2}= [/mm]-[mm]\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{-(i-1)}{z^i}=\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{(i-1)}{z^i}[/mm].
Zusammen erhältst du nun
[mm]f(x)=\bruch{1}{z}[/mm]-[mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{z})^i[/mm]+[mm]\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{(i-1)}{z^i}[/mm]
(ab hier jetzt alles neu)
[mm] =\bruch{1}{z}-\bruch{1}{z}+\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{(i-2)}{z^i} [/mm]
[mm] =\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{(i-2)}{z^i}=\summe_{i=3}^{\infty}\bruch{(i-2)}{z^i} [/mm] (da 1. Summand mit i=2 0 ist)
für |z|>1.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 01.01.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo HJKweseleit,
ich habe jetzt noch mal alles nachgerechnet und möchte Dir noch einmal herzlich danken.
Du hast es wirklich super erklärt und ich konnte alle Deine Schritte nachvollziehen.
Vielen Dank noch einmal für die wirklich tolle Erklärung ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") .
Eine Frage hätte ich noch: Was ist das Kriterium für die Entwicklung der Reihe um [mm]z_0 = 0 [/mm]. Was muss man dabei beachten, wenn um ein anderes [mm]z_0[/mm] herum entwickelt werden soll?
Ich wünsche Dir alles Gute für 2008, vor allem Gesundheit und Glück und dass Du noch vielen anderen hier im Forum weiterhilfst!
Viele Grüße, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas!
> Eine Frage hätte ich noch: Was ist das Kriterium für die
> Entwicklung der Reihe um [mm]z_0 = 0 [/mm]. Was muss man dabei
> beachten, wenn um ein anderes [mm]z_0[/mm] herum entwickelt werden
> soll?
Grundsätzlich gilt für eine Laurentreihe: sie konvergiert im größten Kreisring um den Entwicklungspunkt, in dem keine weitere Singularität liegt. Wenn du die gegebene Funktion
[mm] f(z) = \bruch{1}{z(1-z)^2} [/mm]
zum Beispiel um den Punkt [mm]z_0=\bruch{1}{2}[/mm] entwickeln willst, so ist konvergiert die entstehende Reihe in
[mm] 0<\left|z-\bruch{1}{2}\right|<\bruch{1}{2}[/mm]
denn bei 0 und 1 hat die Funktion je einen Pol.
Du schreibst dazu jedes z als [mm](z-z_0)+z_0[/mm]:
[mm] f(z) = \bruch{1}{((z-\bruch{1}{2})+\bruch{1}{2})((z-\bruch{1}{2})-\bruch{1}{2})^2}[/mm]
[mm] = \bruch{1}{(z-\bruch{1}{2})^3 - \bruch{1}{2}(z-\bruch{1}{2})^2 - \bruch{1}{4}(z-\bruch{1}{2})+\bruch{1}{8}}[/mm]
und dann gehst du analog vor, denn f(z) um [mm]\bruch{1}{2}[/mm] zu entwickeln ist das Gleiche wie [mm]f(z+\bruch{1}{2})[/mm] um 0 zu entwickeln.
Auch dir Alles Gute zum neuen Jahr!
Viele Grüße
Rainer
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RainerS hat eigentlich schon alles gesagt, ich will dies aber noch mal ausführlich darstellen:
Ausgangspunkt sei eine ganzrationale Funktion aus [mm] \IC[x]. [/mm] Mit Hilfe der Polynomdivision spaltest du erst mal ggf. den ganzzahligen Anteil ab und erhältst einen ganzurationalen Anteil, der seiner eigenen Taylorreihe entspricht. Für den echt-gebrochenrationalen Anteil gilt: Der Nenner zerfällt über [mm] \IC [/mm] in lauter Linearfaktoren (ggf. höherer Ordnung). Hierzu führst du nun die Partialbruchzerlegung durch.
Zunächst zeige ich dies am Beispiel einer Laurententwicklung um den Nullpunkt für den Term [mm] \bruch{3}{(5z-4)^3}=3*\bruch{1}{(5z-4)^3}.
[/mm]
Die Entwicklung machst du zunächst nur für [mm] \bruch{1}{(5z-4)}= \bruch{1}{4}*\bruch{1}{(\bruch{5}{4}z-1)}. [/mm] Da bei 4/5 eine Singularität vorliegt, gibt es 2 Entwicklungen:
Für |z|<4/5 [mm] gilt:\bruch{1}{(\bruch{5}{4}z-1)}=-\bruch{1}{(1-\bruch{5}{4}z)}=-\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{5}{4}z)^i
[/mm]
Für |z|>4/5 [mm] gilt:\bruch{1}{(\bruch{5}{4}z-1)}=\bruch{1}{\bruch{5}{4}z}*\bruch{1}{(1-\bruch{1}{\bruch{5}{4}z})}=\bruch{1}{\bruch{5}{4}z}*\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{1}{\bruch{5}{4}z})^i=\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{\bruch{5}{4}z})^i
[/mm]
Durch 2-maliges Ableiten dieser Gleichungen (innere Ableitung beachten!) erhältst du nun die beiden Reihenentwicklungen, wobei du noch ggf. Vorfaktoren anpassen musst. Für die 1. Reihenentwicklung erhält man so
[mm] (\bruch{1}{(\bruch{5}{4}z-1)})'=-\bruch{\bruch{5}{4}}{(\bruch{5}{4}z-1)^2}=-\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{5}{4}*i*(\bruch{5}{4}*z)^{i-1}
[/mm]
[mm] (-\bruch{\bruch{5}{4}}{(\bruch{5}{4}z-1)^2})'=\bruch{2*\bruch{25}{16}}{(\bruch{5}{4}z-1)^3}=-\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{25}{16}*i*(i-1)*(\bruch{5}{4}*z)^{i-2}
[/mm]
Somit: [mm] \bruch{3}{(5z-4)^3}=3*\bruch{1}{(5z-4)^3}=\bruch{3}{4}*\bruch{1}{(\bruch{5}{4}z-1)^3}=-\bruch{3}{4}*\bruch{1}{2}*\summe_{i=2}^{\infty}i*(i-1)*(\bruch{5}{4}*z)^{i-2}=-\bruch{3}{8}*\summe_{i=0}^{\infty}(i+2)*(i+1)*(\bruch{5}{4}*z)^i
[/mm]
Für die ggf. weiteren Partialbrüche gehst du ebenso vor. Bei jeder Polstelle musst du dabei die Zusammensetzung deiner Reihen anders kombinieren. Hast du z.B. einen weiteren Bruch, der beim Radius 4 einen Pol hat, so wählst du für |z|<4/5
von beiden Termen die erste Reihe, für 4/5<|z|<4 von der oberen die 2. Entwicklung, von dem anderen Term aber noch die erste und für 4/5<|z| von beiden die 2. Entwicklung.
Willst du nun aber nicht um den Ursprung, sondern um z=4/5 die Entwicklungen durchführen, setzt du in allen Aussagen t=z-4/5 ein und machst dann eine entsprechende Entwicklung um t=0. Das ist das selbe, was RainerS vorschlägt, aber schreibtechnisch einfacher, zumal du jetzt auch wieder nur eine Entwicklung um den Nullpunkt (aber von t) vornimmst. Anschließend ersetzt du wieder t durch z-4/5.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mi 09.01.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo rainerS, hallo HJKweseleit,
vielen Dank für eure ausführlichen Erklärungen!
Leider war ich die vergangenen 7 Tage in Urlaub und konnte deshalb nicht eher antworten.
Ich habe aber jetzt wieder Zeit, mich ausführlich mit der Laurentreihe auseinander zu setzen.
Ich danke euch beider noch einmal ganz herzlich und wünsche euch nochmal alles Gute für 2008!
Andreas
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