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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Laurent-Reihe
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Laurent-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Mi 28.07.2004
Autor: Joergi

Hallo ich schon wieder,
habe heute Klausur geschrieben und habe jetzt ein paar Frage zunächst diese zu den Laurent-Reihen.
Aufgabe lautet:
Es sei [mm]f:\IC\setminus\{-1,-2,-3\}\rightarrow \IC[/mm] definiert durch [mm]f(z):=\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}[/mm]
Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklung von[mm]f[/mm]mit Entwicklungspunkt [mm]z_o:=0[/mm]für [mm]G[/mm]:
(a) [mm]G:=\{z\in\IC \left|\quad \left|z \right|$<$1\}[/mm]
(b) [mm]G:=\{z\in\IC \left|\quad 2$<$\left|z\right|$<$3\}[/mm]

Also meine Laurent-Reihe zu (a) lautet:
[mm]f(z)=\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}((1-\bruch{1}{2^k}+\bruch{1}{3^{k+1}})*(-1)^k*z^k)[/mm]

Rechnung:

Mit Partialbruchzerlegung folgt:

[mm] f(z)&=&\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}\\\\ &=&\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z+2}+\bruch{C}{z+3}\\\\ &=&\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}-\bruch{1}{z+2}+\bruch{\bruch{1}{2}}{z+3}\\\\ &=&\bruch{-1}{2(-1-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-1-0}}-\bruch{-1}{-2-0}*\bruch{1}{1-\bruch{z-o}{-2-0}}+\bruch{-1}{2(-3-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-3-0}}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-1}}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-2}}+\bruch{1}{6}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-3}}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-1})^k-\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-2})^k+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-3})^k\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*z^k-\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^k}{2^k}+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^k}{3^k}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}((1-\bruch{1}{2^k}+\bruch{1}{3^{k+1}})*(-1)^k*z^k)[/mm]

Und die zu (b):
[mm]f(z)=\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(z^{-k-1}-2^{k-1}*z^{-k-1}+z^k*3^{-k-1})[/mm]

Rechnung:

[mm] f(z)&=&\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}\\\\ &=&\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z+2}+\bruch{C}{z+3}\\\\ &=&\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}-\bruch{1}{z+2}+\bruch{\bruch{1}{2}}{z+3}\\\\ &=&\bruch{1}{2(z-0)}*{\bruch{1}{1-\bruch{-1-0}{z-0}}-\bruch{1}{z-0}*\bruch{1}{1-\bruch{-2-0}{z-0}}-\bruch{1}{2(-3-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-3-0}}[/mm]
[mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2z}*{\bruch{1}{1-\bruch{-1}{z}}-\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{-2}{z}}+\bruch{1}{6}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-3}}[/mm]
[mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{z})^k-\bruch{1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-2}{z})^k+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-3})^k\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(z^{-k-1}-2^{k-1}*z^{-k-1}+z^k*3^{-k-1})[/mm]
Wäre schon,wenn da mal jemand drüberschauen könnte, ob das so Ok ist.
Danke schon mal
        
Bezug
Laurent-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Fr 30.07.2004
Autor: Joergi

Rechnung habe ich hier nachgeliefert!
Bezug
        
Bezug
Laurent-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Sa 31.07.2004
Autor: Brigitte

Hallo Jörgi!

Da hast Du Dir aber viel Mühe beim Aufschreiben gegeben [hut]

Zunächst als Vorbemerkung: Meine Vorlesung über Funktionentheorie ist leider schon ein Weilchen her, weshalb ich die Inhalte nicht mehr besonders gut im Gedächtnis habe. Deine Rechenwege kann ich aber wohl trotzdem beurteilen.

>  Es sei [mm]f:\IC\setminus\{-1,-2,-3\}\rightarrow \IC[/mm] definiert
> durch [mm]f(z):=\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}[/mm]
>  Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklung von[mm]f[/mm]mit
> Entwicklungspunkt [mm]z_o:=0[/mm]für [mm]G[/mm]:
>  (a) [mm]G:=\{z\in\IC \left|\quad \left|z \right|$<$1\}[/mm]
>  (b)
> [mm]G:=\{z\in\IC \left|\quad 2$<$\left|z\right|$<$3\}[/mm]
>  
> Also meine Laurent-Reihe zu (a) lautet:
>  
> [mm]f(z)=\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}((1-\bruch{1}{2^k}+\bruch{1}{3^{k+1}})*(-1)^k*z^k)[/mm]
>  
> Rechnung:
>  
> Mit Partialbruchzerlegung folgt:
>  
> [mm] f(z)&=&\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}\\\\ &=&\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z+2}+\bruch{C}{z+3}\\\\ &=&\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}-\bruch{1}{z+2}+\bruch{\bruch{1}{2}}{z+3}\\\\ &=&\bruch{-1}{2(-1-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-1-0}}-\bruch{-1}{-2-0}*\bruch{1}{1-\bruch{z-o}{-2-0}}+\bruch{-1}{2(-3-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-3-0}}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-1}}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-2}}+\bruch{1}{6}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-3}}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-1})^k-\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-2})^k+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-3})^k\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*z^k-\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{z^k}{2^k}+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{z^k}{3^k}\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}((1-\bruch{1}{2^k}+\bruch{1}{3^{k+1}})*(-1)^k*z^k)[/mm]

[ok] Kann keine Unstimmigkeit entdecken. Na gut, man könnte die äußere Klammer weglassen [streber]

> Und die zu (b):
>  
> [mm]f(z)=\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(z^{-k-1}-2^{k-1}*z^{-k-1}+z^k*3^{-k-1})[/mm]
>  
> Rechnung:
>  
> [mm] f(z)&=&\bruch{1}{(z+1)(z+2)(z+3)}\\\\ &=&\bruch{A}{z+1}+\bruch{B}{z+2}+\bruch{C}{z+3}\\\\ &=&\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1}-\bruch{1}{z+2}+\bruch{\bruch{1}{2}}{z+3}\\\\ &=&\bruch{1}{2(z-0)}*{\bruch{1}{1-\bruch{-1-0}{z-0}}-\bruch{1}{z-0}*\bruch{1}{1-\bruch{-2-0}{z-0}}-\bruch{1}{2(-3-0)}*\bruch{1}{1-\bruch{z-0}{-3-0}}[/mm]
>  
> [mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2z}*{\bruch{1}{1-\bruch{-1}{z}}-\bruch{1}{z}*\bruch{1}{1-\bruch{-2}{z}}+\bruch{1}{6}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{-3}}[/mm]
>  
> [mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-1}{z})^k-\bruch{1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-2}{z})^k+\bruch{1}{6}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{-3})^k[/mm]

bis hierhin [ok]


> [mm]\\\\ &=&\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*(z^{-k-1}-2^{k-1}*z^{-k-1}+z^k*3^{-k-1})[/mm]

Wenn Du nun den Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] herausziehst, steht beim zweiten Summanden aber [mm] $2^{k+1}$ [/mm] statt [mm] $2^{k-1}$, [/mm] oder?

Ansonsten ist aber auch hier alles in Ordnung (meine ich). Hoffentlich hast Du es so auch in der Klausur geschrieben ;-)

Viele Grüße
Brigitte
Bezug
                
Bezug
Laurent-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 Mo 02.08.2004
Autor: Joergi

Hallo Brigitte,

danke für deine Antwort.

Und bei beim letzten Schritt von Teil b) hab ich mich verschrieben.

Liebe Grüße
Jörg
Bezug
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