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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 06.09.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo alle miteinander!
Bei meiner Klausurvorbereitung stehe ich vor meiner ersten Laurent-Entwicklung. Dieses Thema ist leider bei uns wenig zu kurz gekommern, so dass es mir Probleme bereitet. In einer alten Klausur habe ich folgende Aufgabe gefunden:
Für die Funktion [mm]f:\IC \setminus \left \{0,2\right\}\to\IC, f(z):=\bruch{1}{z^2(z-2)^2}[/mm] sollen alle möglichen Laurent-Entwicklungen um [mm]z_0=0[/mm] und die Laurent-Entwicklung um [mm]z_1=1[/mm] in [mm]K_1(1)[/mm] inklusive der Konvergenzbereiche berechnet werden.
Ehrlich gesagt, bin ich ein wenig überfragt, wie diese Aufgabe lösen soll.
Zunächst einmal eine Frage zur Aufgabenstellung:
Es sollen also zwei Entwicklungen gemacht werden. Einmal um den Punkt 0 und einmal um den Punkt 1. Warum ist aber für 1 ein Kreis angegeben und für 0 etwa nicht?
Okay, den ersten Schritt habe ich gemacht, in dem eine Partialbruchzerlegung gemacht habe.
Diese führt zu:
[mm]f(z) = \bruch{1}{4}*(\bruch{1}{z}+\bruch{1}{z^2}+\bruch{1}{z-2}+\bruch{1}{(z-2)^2})[/mm]
Wie geht es nun weiter?
Besten Dank schon einmal!
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In deiner Partialbruchzerlegung ist ein Vorzeichen falsch. Vor [mm]\frac{1}{z-2}[/mm] muß ein Minuszeichen stehen.
Beginnen wir einmal mit der Laurent-Entwicklung um 0:
[mm]f(z) = \sum_{\nu=-\infty}^{\infty}~a_{\nu} z^{\nu}[/mm]
Die Glieder [mm]\frac{1}{z} = z^{-1}[/mm] und [mm]\frac{1}{z^2} = z^{-2}[/mm] sind genau von der Art, wie wir sie brauchen. Also bleiben die erst einmal stehen. Und dann fällt auf, daß der letzte Summand der Partialbruchzerlegung gerade die Ableitung des vorletzten ist. Man muß daher nur noch die Laurent-Entwicklung von [mm]- \frac{1}{z-2}[/mm] finden, dann die Reihe gliedweise differenzieren und hinterher alles zusammenbauen. Jetzt ist aber [mm]- \frac{1}{z-2}[/mm] in [mm]|z|<2[/mm] sogar holomorph. Man kann diesen Teil also sogar in eine Potenzreihe vom Konvergenzradius 2 entwickeln. Und da hilft der folgende Trick:
[mm]- \frac{1}{z-2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z}{2}}[/mm]
Und jetzt bist du dran.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 So 11.09.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hi!
Vielen Dank für Deine Hilfe. Damit hat es geklappt!!!
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