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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 18.02.2007 | | Autor: | Locutus |
| Aufgabe | siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
Sei [mm] f(z)=\bruch{e^{az}}{(1+e^{z})^{2}} [/mm] für a reell.
1. Man bestimme alle Singularitäten von f und deren Typ.
2. Berechnen Sie den Hauptteil der Laurent-Entwicklung von f um den Punkt [mm] z_{0}=i\pi [/mm] |
Hallo zusammen.
Ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen.
Also ich denke die Funktion hat Pole zweiter Ordnung bei [mm] z=i*(\pi+2\pik), k\in\IZ
[/mm]
Es ist ein Pol, weil die Funktion meromorph (Quotient zweier holom. Fkt.) ist und deswegen keine wesentlichen Singularitäten haben kann.
Ist diese Argumentation richtig?
Aber wie berechne ich jetzt den Hauptteil der Laurent-Entwicklung?
Also der (-1)-Koeffizient müsste ja das Residuum bei [mm] z_{0} [/mm] sein. und da ein Pol zweiter Ordnung vorliegt, kann es ja dann nur noch den (-2)-Koeffizienten geben.
Beide Koeffizienten kann ich leider nicht ausrechnen. Bitte helft mir!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 So 18.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Locutus!
> siehe
> hier
>
> Sei [mm]f(z)=\bruch{e^{az}}{(1+e^{z})^{2}}[/mm] für a reell.
> 1. Man bestimme alle Singularitäten von f und deren Typ.
> 2. Berechnen Sie den Hauptteil der Laurent-Entwicklung von
> f um den Punkt [mm]z_{0}=i\pi[/mm]
> Hallo zusammen.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen.
> Also ich denke die Funktion hat Pole zweiter Ordnung bei
> [mm]z=i*(\pi+2\pi k), k\in\IZ[/mm]
Ja, das ist richtig so.
> Es ist ein Pol, weil die Funktion
> meromorph (Quotient zweier holom. Fkt.) ist und deswegen
> keine wesentlichen Singularitäten haben kann.
Genau.
> Ist diese Argumentation richtig?
Ja; du solltest aber noch erwaehnen, dass der Zaehler niemals verschwindet und auch keine Polstellen hat.
> Aber wie berechne ich jetzt den Hauptteil der
> Laurent-Entwicklung?
> Also der (-1)-Koeffizient müsste ja das Residuum bei [mm]z_{0}[/mm]
> sein. und da ein Pol zweiter Ordnung vorliegt, kann es ja
> dann nur noch den (-2)-Koeffizienten geben.
> Beide Koeffizienten kann ich leider nicht ausrechnen.
> Bitte helft mir!!
Mach es doch wie folgt: du weisst, dass die Laurent-Entwicklung von der Form [mm] $\sum_{k=-2}^\infty a_k z^k$ [/mm] ist; also ist [mm] $\sum_{k=-2}^\infty a_k z^k [/mm] = [mm] \frac{e^{a z}}{(1 - e^z)^2}$. [/mm] Wenn du jetzt mit $(1 - [mm] e^z)^2$ [/mm] multiplizierst, die Reihen einsetzt und das ganze ausmultiplizierst und Koeffizientenvergleich machst, bekommst du Gleichungen fuer die Koeffizienten [mm] $a_i$. [/mm] Und damit solltest du [mm] $a_{-2}$ [/mm] und [mm] $a_{-1}$ [/mm] bestimmen koennen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 18.02.2007 | | Autor: | Locutus |
Hallo Felix.
Danke für die Antwort.
> Wenn du jetzt mit [mm](1 - e^z)^2[/mm] multiplizierst, die Reihen
> einsetzt und das ganze ausmultiplizierst und
> Koeffizientenvergleich machst, bekommst du Gleichungen fuer
> die Koeffizienten [mm]a_i[/mm].
Welche Reihen soll ich denn einsetzen? muss da irgendwie das [mm] i\pi [/mm] mit rein?
oder soll ich z.b für (1 - [mm] e^z)^2 [/mm] einfach [mm] (1-\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{k}}{k!})^2 [/mm] einsetzen?
Dann komme ich leider nicht viel weiter.
Lg Locutus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mo 19.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Locutus,
> > Wenn du jetzt mit [mm](1 - e^z)^2[/mm] multiplizierst, die Reihen
> > einsetzt und das ganze ausmultiplizierst und
> > Koeffizientenvergleich machst, bekommst du Gleichungen fuer
> > die Koeffizienten [mm]a_i[/mm].
>
> Welche Reihen soll ich denn einsetzen? muss da irgendwie
> das [mm]i\pi[/mm] mit rein?
sorry, das hab ich ganz vergessen: du musst jeweils die Reihenentwicklung um $i [mm] \pi$ [/mm] nehmen. Also [mm] $\frac{e^{a z}}{(1 - e^z)^2} [/mm] = [mm] \sum_{k=-2}^\infty a_k [/mm] (z - i [mm] \pi)^k$ [/mm] schreiben (mit noch unbekannten [mm] $a_k$), [/mm] das zu $(1 - [mm] e^z)^2 [/mm] = [mm] e^{a z} \sum_{k=-2}^\infty a_k [/mm] (z - i [mm] \pi)^k$ [/mm] umformen, und fuer [mm] $e^z$ [/mm] und [mm] $e^{a z}$ [/mm] jeweils eine Reihenentwicklung um $i [mm] \pi$ [/mm] einsetzen.
Wenn du dich fragst, wie du einfach eine Reihenentwicklung von [mm] $e^{a z}$ [/mm] um $i [mm] \pi$ [/mm] finden kannst: schreibe [mm] $e^{a z} [/mm] = [mm] e^{a (z - i \pi) + a i \pi} [/mm] = [mm] e^{a (z - i \pi)} e^{a i \pi} [/mm] = [mm] e^{a i \pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k$; [/mm] der letzte Umforumungsschritt ist einfach die ganz normale Exponentialreihe genommen und anstatt $z$ das Argument $a (z - i [mm] \pi)$ [/mm] eingesetzt.
So. Damit hast du jetzt [mm] $\left( 1 - \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} (z - i \pi)^k \right)^2 [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k \cdot \sum_{\ell = 0}^\infty a_\ell [/mm] (z - i [mm] \pi)^\ell$.
[/mm]
Auf beiden Seiten kannst du das jetzt mit Hilfe des Cauchy-Produktes zu einer Reihe zusammenmultiplizieren, bzw. eigentlich brauchst du sowieso nur die Koeffizienten von $(z - i [mm] \pi)^k$ [/mm] fuer kleine $k$. Und wenn du das hast, machst du einfach Koeffizientenvergleich. Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Locutus |
Hallo Felix.
Dank deiner Erläuterung habe ich den Weg jetzt verstanden, aber ich komme auf eine etwas andere Formel und dann auf das Ergebnis [mm] a_{-2}=0, [/mm] was doch nicht sein kann, weil dort ein Pol zweiter Ordnung vorliegt, oder?
Also die Rechnung:
Aus $ [mm] \frac{e^{a z}}{(1 - e^z)^2} [/mm] = [mm] \sum_{k=-2}^\infty a_k [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] $ folgt ja $ [mm] e^{a z} [/mm] = (1 - [mm] e^z)^2*\sum_{k=-2}^\infty a_k [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] $
In diese Gleichung setze ich dann folgendes ein:
$ [mm] e^{a z} [/mm] = [mm] e^{a i \pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] $ das hast du ja gezeigt.
$ [mm] e^{z} [/mm] = - [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] $ das gleiche für a=1
führt zu: $ [mm] e^{a i \pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] = (1 + [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k)^2\sum_{k=-2}^\infty a_k [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] $
Da die linken Reihen bei k=0 beginnen, bekomme ich beim Koeffizientenvergleich für die Glieder mit $ (z - i [mm] \pi)^{-2} [/mm] $ :
$ 0*(z - i [mm] \pi)^{-2}=(1+1)^{2}*a_{-2}(z [/mm] - i [mm] \pi)^{-2} [/mm] $
Woraus folgt [mm] a_{-2}=0
[/mm]
Ist da ein Fehler drin oder kann bei einem Pol zweiter Ordnung der -2. Koeffizient Null sein?
Vielen Dank für deine Hilfe
Lg Locutus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mo 19.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Locutus!
> Dank deiner Erläuterung habe ich den Weg jetzt verstanden,
> aber ich komme auf eine etwas andere Formel und dann auf
> das Ergebnis [mm]a_{-2}=0,[/mm] was doch nicht sein kann, weil dort
> ein Pol zweiter Ordnung vorliegt, oder?
Ja, das kann tatsaechlich nicht sein.
> Also die Rechnung:
> Aus [mm]\frac{e^{a z}}{(1 - e^z)^2} = \sum_{k=-2}^\infty a_k (z - i \pi)^k[/mm]
> folgt ja [mm]e^{a z} = (1 - e^z)^2*\sum_{k=-2}^\infty a_k (z - i \pi)^k[/mm]
>
> In diese Gleichung setze ich dann folgendes ein:
> [mm]e^{a z} = e^{a i \pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} (z - i \pi)^k[/mm]
> das hast du ja gezeigt.
> [mm]e^{z} = - \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (z - i \pi)^k[/mm] das
> gleiche für a=1
>
> führt zu: [mm]e^{a i \pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} (z - i \pi)^k = (1 + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (z - i \pi)^k)^2\sum_{k=-2}^\infty a_k (z - i \pi)^k[/mm]
Genau.
> Da die linken Reihen bei k=0 beginnen, bekomme ich beim
> Koeffizientenvergleich für die Glieder mit [mm](z - i \pi)^{-2}[/mm]
> :
> [mm]0*(z - i \pi)^{-2}=(1+1)^{2}*a_{-2}(z - i \pi)^{-2}[/mm]
Vorsicht, das auf der rechten Seite stimmt nicht!
Du musst wie folgt vorgehen: es ist ja [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] = 1 + (z - i [mm] \pi) [/mm] + [mm] \frac{1}{2} [/mm] (z - i [mm] \pi)^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{6} [/mm] (z - i [mm] \pi)^3 [/mm] + [mm] \dots$, [/mm] und somit $(1 - [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k)^2 [/mm] = (-(z - i [mm] \pi) [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] (z - i [mm] \pi)^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{6} [/mm] (z - i [mm] \pi)^3 [/mm] + [mm] \dots)^2 [/mm] = (z - i [mm] \pi)^2 [/mm] + 2 [mm] \frac{1}{2} [/mm] (z - i [mm] \pi)^3 [/mm] + [mm] (\frac{1}{2^2} [/mm] + 2 [mm] \frac{1}{6}) [/mm] (z - i [mm] \pi)^4 [/mm] + [mm] \dots$.
[/mm]
Und damit ist $(1 - [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k)^2 \sum_{k=-2}^\infty a_k [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] = ((z - i [mm] \pi)^2 [/mm] + 2 [mm] \frac{1}{2} [/mm] (z - i [mm] \pi)^3 [/mm] + [mm] (\frac{1}{2^2} [/mm] + 2 [mm] \frac{1}{6}) [/mm] (z - i [mm] \pi)^4 [/mm] + [mm] \dots) \sum_{k=-2}^\infty a_k [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] = [mm] a_{-2} [/mm] + [mm] (a_{-1} [/mm] + 2 [mm] \frac{1}{2} a_{-2}) [/mm] (z - i [mm] \pi) [/mm] + [mm] \dots$.
[/mm]
Damit solltest du jetzt weiterkommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Locutus |
Hi.
Also ich hab ja auf der rechten Seite [mm] (1 + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (z - i \pi)^k)^2\sum_{k=-2}^\infty a_k (z - i \pi)^k[/mm]
Du hast dort $ (1 - [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] (z - i [mm] \pi)^k)^2 \sum_{k=-2}^\infty a_k [/mm] (z - i [mm] \pi)^k [/mm] $
Ich denke da muss aber ein Plus in der Klammer stehen, weil [mm]e^{z} = e^{z-i\pi+i\pi} = e^{i\pi}e^{z-i\pi} = - \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (z - i \pi)^k[/mm]
Beachte das Minus, weil ja um $ [mm] i\pi [/mm] $ entwickelt. Und nach dem Einsetzen in $ (1 - [mm] e^z)^2 [/mm] $ habe ich ein Plus in der Klammer.
Also kürzt sich die 1 in der Klammer nicht weg, sondern wird zu [mm] (1+1)^2 [/mm] für den (-2)-Koeffizienten.
Bei dir ist doch gar kein (-2)-Koeffizient vorhanden, oder nicht?
Noch irgendeine Idee?
Lg Locutus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mo 19.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Locutus,
mir faellt grad auf, das ich aus Versehen in meiner ersten Antwort die Aufgabenstellung `veraendert' hab: die urspruengliche Funktion ist [mm] $\frac{e^{a z}}{(1 + e^z)^2}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{e^{a z}}{(1 - e^z)^2}$!
[/mm]
> Also ich hab ja auf der rechten Seite [mm](1 + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (z - i \pi)^k)^2\sum_{k=-2}^\infty a_k (z - i \pi)^k[/mm]
>
> Du hast dort [mm](1 - \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (z - i \pi)^k)^2 \sum_{k=-2}^\infty a_k (z - i \pi)^k[/mm]
>
> Ich denke da muss aber ein Plus in der Klammer stehen, weil
> [mm]e^{z} = e^{z-i\pi+i\pi} = e^{i\pi}e^{z-i\pi} = - \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (z - i \pi)^k[/mm]
> Beachte das Minus, weil ja um [mm]i\pi[/mm] entwickelt.
Ja, da hast du Recht, da muss ein Minus hin.
> Und nach dem Einsetzen in [mm](1 - e^z)^2[/mm] habe ich ein Plus in der Klammer.
Und wenn man das (urspruengliche) $(1 + [mm] e^z)^2$ [/mm] nimmt, kommt wieder ein Minus raus und alles geht auf :)
Sorry fuer die Verwirrung!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Locutus |
Oh, das stimmt. Hab ich gar nicht bemerkt.
Jetzt ist es klar. Nochmals vielen dank für deine Hilfe.
LG Locutus
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