Laplace vs. nicht-laplace < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Laplace:
- Alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich
- Formel: [mm] \bruch{guenstige}{moegliche}
[/mm]
- Bsp: Wahrscheinlichkeit bei fairem Würfel ne 6 zu würfeln: [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Nicht-Lalpace
- Nicht alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich
- Bsp: Bei einem fairen Würfel, der anstatt der 2 eine weitere 1 hat, eine 6 würfeln: [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
- Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln: [mm] \bruch{2}{6}
[/mm]
Was ist denn das Besondere an der Laplace-Formel? Für mich sieht das so aus, als würde man in beiden Fälle dieselbe Formel [mm] \bruch{guenstige}{moegliche} [/mm] verwenden.
Und selbst bei diesem Beispiel hier:
![[]](/images/popup.gif) Hypergeometrische Verteilung berechne ich doch eigentlich auch nur das Verhältnis der günstigen Fälle zur Gesamtzahl der Fälle.
Irgendwie bringt mich das mit dem Laplace total durcheinander: Berechnet man Wahrscheinlichkeiten nicht immer so, dass man eine relative Häufigkeit berechnet? Geht das nicht aus dem Gesetz der großen Zahlen hervor? Und ist das nicht auch die Sicht der Frequentisten?
Oder bringe ich hier was komplett durcheinander?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Laplace:
>
> - Alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich
> - Formel: [mm]\bruch{guenstige}{moegliche}[/mm]
> - Bsp: Wahrscheinlichkeit bei fairem Würfel ne 6 zu
> würfeln: [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
Was noch fehlt: Nur endlich viele Elementarereignisse.
> Nicht-Lalpace
> - Nicht alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich
> - Bsp: Bei einem fairen Würfel, der anstatt der 2 eine
> weitere 1 hat, eine 6 würfeln: [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> - Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln:
> [mm]\bruch{2}{6}[/mm]
> Was ist denn das Besondere an der Laplace-Formel? Für mich
> sieht das so aus, als würde man in beiden Fälle dieselbe
> Formel [mm]\bruch{guenstige}{moegliche}[/mm] verwenden.
Achso?
Wie viele Elementarereignisse hast du denn beim zweiten Modell?
Hier zeigt sich mal wieder, dass man nicht drumrum kommt, Dinge mal sauber aufzuschreiben, statt verkürzt.
Dann kommst du nämlich drauf, dass die Wahrscheinlichkeit für eine gewürfelte 1 hier nach Laplace [mm] \bruch{1}{5} [/mm] waere, was aber offensichtlich falsch ist, weil die Wahrscheinlichkeit eben [mm] \bruch{2}{6} [/mm] ist.
> Irgendwie bringt mich das mit dem Laplace total
> durcheinander: Berechnet man Wahrscheinlichkeiten nicht
> immer so, dass man eine relative Häufigkeit berechnet?
Wenn du begründest, warum du das so machen kannst...
Dies kann aber bei verschiedenen "relativen Häufigkeiten" zu unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten beim selben Problem führen, siehe Bertrand-Paradoxon
D.h. du musst immer begründen können, warum man Wahrscheinlichkeiten so annähern kann.
> Geht das nicht aus dem Gesetz der großen Zahlen hervor? uf
Das Gesetz der großen Zahlen sagt, dass unter bestimmten Bedingungen sich bei ausreichend vielen Versuchen die beobachtete relative Anzahl der Auftrittswahrscheinlichkeit beliebig annähert.
Nur leider trifft es keine Aussage darüber, wie schnell das passiert oder was mit der absoluten Abweichung passiert. Die kann nämlich weiterhin über alle Grenzen wachsen (was Spieler oftmals in den Ruin treibt, die meinen bei Roulette müsste doch "jetzt endlich wieder öfter rot als schwarz kommen)
> Und ist das nicht auch die Sicht der Frequentisten?
Wenn du die Wahrscheinlichkeit definierst als Grenzwert der relativen Häufigkeit, dann hast du die Sicht der Frequentisten. Dort gibt es also keine a priori Wahrscheinlichkeit (also eine "natürliche" Wahrscheinlichkeit, die vorab feststeht) sondern nur a posteriori Wahrscheinlichkeiten (also solche, die nach mehreren Auftritten festgelegt werden kann).
Und dann gibt es natürlich auch kein Gesetz der großen Zahlen mehr, weil das eine Definition ist....
> Oder bringe ich hier was komplett durcheinander?
Vermutlich...
Gruß,
Gono
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Wenn du Heftzwecken fallen lässt, können sie mit der Spitze senkrecht nach oben oder mit der Spitze schräg nach unten liegen bleiben. Die W. für "Spitze nach oben" ist nicht 1/2.
Wenn du mit dem Gewehr auf eine Glasflasche schießt, gibt es zwei Mgl.: Treffer oder daneben. Die W. für Treffer ist nicht 1/2.
LaPlace-W. tauchen nur in speziellen Fällen auf, bei denen die Vorgänge gleichwahrscheinlich sind.
Beispiel: Du wirfst 2 Münzen. Es gibt 3 Mgl.: Beides Zahl, beides Wappen oder Zahl und Wappen. Die W. für beides Zahl ist aber nicht 1/3. Das siehst du, wenn du verschiedene Münzen nimmst. Dann gibt es 4 gleichwahrscheinliche Ausgänge (Z|Z), (Z|W), (W|W) und (W|Z). Die W. für beides Zahl ist also 1/4, für beides Wappen ebenfalls 1/4 und für eine Mischung 2/4=1/2.
Du hast natürlich Recht: Die Wahrscheinlichkeit ist die theoretische relative Häufigkeit für den Fall ganz vieler gleichartiger Experimente mit demselben Ausgang. So würdest du bei den Heftzwecken und dem Flaschenschießen die Wahrscheinlichkeit experimentell ermitteln.
Im Falle von LaPlace-Experimenten kannst du diese aber ohne reales Experiment ERRECHNEN, und genau das möchte man ja in der Mathematik. Wenn du 1200 mal mit einem LaPlace-Würfel würfelst, wirst du ca. 200 mal eine 6 würfeln. Selbst für die Abweichung von 200 gibt es theoretische Vorhersagen.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:41 Do 02.01.2020 | | Autor: | DeerQuenker |
Hi, vielen Dank für die Antwort:
Okay, das heißt also, die Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{2}{6}, [/mm] bei einem Würfel mit zwei Einsen (anstatt der Zwei) ist darin begründet, dass man sagt: Diesen Wert würde die relat. Häufigkeit irgendwann annehmen, richtig? (Zumindest laut den Frequentisten)
Wie ist das dann z. B. bei einem Bernoulli-Experiment? Hier hab ich ja immer 2 Ausgänge, die nicht gleichwahrscheinlich sein müssen (z. B. [mm] \bruch{4}{6} [/mm] vs. [mm] \bruch{2}{6}). [/mm] Diese Werte ergeben sich hier auch wieder als Grenzwerte der rel. Häufigkeiten, richtig? (Oder sie wurden tatsächlich experimentell bestimmt, aber in den meisten Aufgaben sind die Werte ja vorgegeben)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Sa 04.01.2020 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> Okay, das heißt also, die Wahrscheinlichkeit von
> [mm]\bruch{2}{6},[/mm] bei einem Würfel mit zwei Einsen (anstatt
> der Zwei) ist darin begründet, dass man sagt: Diesen Wert
> würde die relat. Häufigkeit irgendwann annehmen, richtig?
> (Zumindest laut den Frequentisten)
Ja, davon ist auszugehen.
[Mal am Rande:
Allerdings frage ich mich schon länger, wenn bspw. bei einem Münzwurf (Ergebnisse: Wappen oder Zahl) mit einer idealen Münze bei 100.000 Würfen 30.000x Wappen gekommen ist, müsste dann nicht eine höhere Wahrscheinichkeit für Wappen gelten, um bspw. nach weiteren 100.000 Würfen 100.000x Wappen zu verzeichnen? --- Und wenn der Zufall kein Gedächtnis hat, wie soll das gehen??? *grübel*]
> Wie ist das dann z. B. bei einem Bernoulli-Experiment? Hier
> hab ich ja immer 2 Ausgänge, die nicht
> gleichwahrscheinlich sein müssen (z. B. [mm]\bruch{4}{6}[/mm] vs.
> [mm]\bruch{2}{6}).[/mm] Diese Werte ergeben sich hier auch wieder
> als Grenzwerte der rel. Häufigkeiten, richtig? (Oder sie
> wurden tatsächlich experimentell bestimmt, aber in den
> meisten Aufgaben sind die Werte ja vorgegeben)
Ein Bernoulli-Experiment kann mehr als zwei Ergebnisse haben, aber ich unterscheide nur zwei (Erfolg, Mißerfolg). Bspw. beim Würfeln "Sechs" oder "Nicht-Sechs". Ferner muss die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jeder Durchführung dieselbe sein.
Bei einem konkreten Bernoulli-Versuch würde man die Erfolgswahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeiten bestimmen.
Gerade in der Praxis dürfte die Ermittlung von solchen Erfolgswahrscheinlichkeiten allerdings die eigentliche Schwierigkeit sein. Insofern wird das bei den Aufgaben, die ihr lösen sollt, vorgegeben.
Wie groß ist ein mittlerer Ausschußanteil der Schraube ScrewOne? Wie hoch ist der Anteil der Jugendlichen, die ein I-Phone Ultra3000 besitzen?
Wie viele Personen würden sich durchschnittlich für einen Berliner mit Schokofüllung entscheiden?
Zunächst sollt ihr Grundzüge von Denkmodellen (Modellen) kennen lernen.
Was ihr aber noch ausführlich behandeln werdet, sind Hypothesen und Hypothesentests...
Wem das nicht reicht, der kann solche Dinge natürlich später auch noch intensiv studieren.
Frohes Neues Jahr!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Sa 04.01.2020 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [Mal am Rande:
> Allerdings frage ich mich schon länger, wenn bspw. bei
> einem Münzwurf (Ergebnisse: Wappen oder Zahl) mit einer
> idealen Münze bei 100.000 Würfen 30.000x Wappen gekommen
> ist, müsste dann nicht eine höhere Wahrscheinichkeit für
> Wappen gelten, um bspw. nach weiteren 100.000 Würfen
> 100.000x Wappen zu verzeichnen? --- Und wenn der Zufall
> kein Gedächtnis hat, wie soll das gehen??? *grübel*]
ein gern gemachter Fehler und ein schönes Beispiel, wieso manche "Systemspieler" in Kasinos pleite gehen…
Machen wir mal 10 weitere Experimente mit 100.000 Münzwürfen. Wie du gleich sehen wirst, kann sich die relative Wahrscheinlichkeit dem Wert [mm] \frac{1}{2} [/mm] immer weiter annähern, dabei muss aber bei keinem einzigen Experiment öfter Wappen kommen als Zahl. D.h. der absolute "Rückstand" von Wappen steigt immer weiter und trotzdem nähert sich die relative Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{2}$!
[/mm]
Nach deinem ersten Experiment haben wir eine vermutete Wahrscheinlichkeit von [mm] $\frac{3}{10} [/mm] = [mm] 30\%$ [/mm] für Wappen, machen wir mal weitere:
[mm] $\begin{tabular}{c|c|c|r} Experiment & Wappen & Zahl & Differenz \\ \hline 1. & 30.000 & 70.000 & 40.000\\ 2. & 40.000&60.000 & 20.000 \\ 3. & 49.000 & 51.000 & 2.000 \\ 4. & 47.500 & 52.500 & 5.000 \\ 5. & 42.500 & 57.500 & 15.000 \\ 6. & 49.700 & 50.300 & 600 \\7. & 49.800 & 50.200 & 400 \\ 8. & 43.000 & 57.000 & 14.000 \\9. & 49.000 & 51.000 & 2.000 \\ \hline \Sigma & 400.500 & 499.500 & 99.000 \end{tabular} [/mm] $
Und schon bekommen wir eine relative Wahrscheinlichkeit für Wappen von [mm] $\frac{400500}{900000} [/mm] = [mm] 44,5\%$
[/mm]
was von unserem erwarteten Wert [mm] \frac{1}{2} [/mm] gar nicht mehr so weit entfernt ist, obwohl immer öfter Zahl kam und sich die absolute Differenz mehr als verdoppelt hat!
Dies zeigt auch sehr schön, wieso man bei statistischen Modellen vorher ganz genau überlegen sollte, was man als Nullhypothese wählt.
Während ich bei 400500 Wappen von 900000 Münzen nicht von einer unfairen Münze ausgehen würde, wäre das bei "Bei 9 Experimenten mit je 100000 Würfen kommt immer öfter Zahl als Wappen" schon anders…
Gruß,
Gono
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| Aufgabe | Folgende Aufgabe: "Ein Trickbetrüger verwendet einen gefälschten
Würfel. Bei dem beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs 20%. Während
die anderen fünf Zahlen alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben." |
Die Wahrscheinlichkeit von 20% muss man ja experimentell bestimmt haben, oder? Ab wie vielen Experimenten würde man denn sagen "Okay, dieser Wert scheint die Wahrscheinlichkeit zu sein"?
Könnte man z. B. sagen "wenn sich die ersten 5 Nachkommastellen der relativen Häufigkeit nicht mehr ändern"?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mo 13.01.2020 | | Autor: | luis52 |
Moin DeerQuenker
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Folgende Aufgabe: "Ein Trickbetrüger verwendet einen
> gefälschten
> Würfel. Bei dem beträgt die Wahrscheinlichkeit für
> eine Sechs 20%. Während
> die anderen fünf Zahlen alle dieselbe Wahrscheinlichkeit
> haben."
> Die Wahrscheinlichkeit von 20% muss man ja experimentell
> bestimmt haben, oder? Ab wie vielen Experimenten würde man
> denn sagen "Okay, dieser Wert scheint die
> Wahrscheinlichkeit zu sein"?
>
> Könnte man z. B. sagen "wenn sich die ersten 5
> Nachkommastellen der relativen Häufigkeit nicht mehr
> ändern"?
Solche apodiktischen Aussagen sind im Zusammenhang mit Zufallsexperimenten problematisch. Du kannst aber ein Konfidenzintervall fuer die Wsk $p_$ einer Augenzahl "Sechs" bestimmen, von dem du sagen kannst: Mit einer Sicherheitswsk von z.B. 0.99 liegt $p_$ in den Grenzen [mm] $[\hat p_1,\hat p_2]$, [/mm] wobei [mm] $|\hat p_2-\hat p_1|$ [/mm] beliebig klein ist.
Noch eine Bitte: Eroeffne fuer eine neue Frage einen eigenen Thread.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Sa 04.01.2020 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
zwei Anmerkungen.
1. Wahrscheinlichkeitsrechnung hat viel mit Modellbildung zu tun.
Dein Würfel-Experiment mit den möglichen Ergebnissen 1,3,4,5,6 ist zunächst kein Laplace-Experiment; s. Vorschreiber.
Allerdings könnte man dieses Experiment als Laplace-Experiment modellieren, in dem man sich sechs Kugeln in einer Urne vorstellt mit den Ziffern 1,1,3,4,5,6. Jede Kugel hat nun die selbe Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden.
Nehmen wir an, wir ziehen nur einmal. Dann könnte ich dazu ein einstufiges Baumdiagramm zeichnen; und müsste für das Ereignis "1" die Wahrscheinlichkeit zweier Pfade addieren.
2. Eine relative Häufigkeit ist nicht dasselbe wie eine Wahrscheinlichkeit.
Eine relative Häufigkeit gewinnt man aus der mehrfachen Durchführung eines Zufallsexperiments. Sie ist also eine empirische Größe.
Bspw. wenn wir einen idealen Würfel (mit 1,2,3,4,5,6) 10 mal werfen.
Die Ergebnisse seien
Zahl absolute Häufigkeit
1 1
2 2
3 0
4 1
5 3
6 3
Hier wäre die relative Häufikeit für eine "1" [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
Hingegen ist die Wahrscheinlichkeit eine theoretische Größe, die man näherungsweise von der relativen Häufigkeit ableitet, indem man ein Zufallsexperiment sehr oft durchführt. Man postuliert im Gesetz der Großen Zahlen: Die relative Häufigkeit nähert sich der theoretischen Wahrscheinlichkeit an. Man macht also eine Grenzwertwertbetrachtung.
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