Laplace e-Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 So 10.02.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | Wie ist die Laplace-Transformierte von [mm] e^{x}[/mm]? |
Hallo zusammen,
die Antwort laut Skript ist:
[mm] L[e^{x}] = \bruch{1}{s-1}[/mm]. Das ist mir nicht so ganz klar.
Ich weiß, dass die Laplace-Transformierte von [mm] e^{a*t} = \bruch{1}{s-a}[/mm] ist.
Selbst wenn ich a=1 setze, bleibt doch das x stehen und was ist mit dem t der Zeitfunktion?
In der Zeitfunktion muss doch eigentlich immer ein t sein, oder? Was bedeutet das x in der e-Funktion und warum ist kein t da? Oder soll das x das t sein?
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Viele Grüße, Andreas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 So 10.02.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
die Laplacetransformation einer Funktion f(x) ist durch die Formel:
F(s) = [mm] \int_{0}^{\infty} [/mm] f(x) [mm] e^{-sx}\, [/mm] dx definiert.
Dabei wird der Funktion f, für die das uneigentliche Integral existiert, die transformierte Funktion F zugeordnet. Ob man bei f die Variable als x oder t schreibt, ist eigentlich unwichtig.
Für f(x) = [mm] e^x [/mm] erhält man:
F(s) = [mm] \int_{0}^{\infty} e^x e^{-sx}\, [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{\infty} e^{(1-s)x}\, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{1-s} [e^{(1-s)x}]^\infty_0 [/mm] = [mm] \frac{-1}{1-s} [/mm] = [mm] \frac{1}{s-1}
[/mm]
Dabei muss s > 1 sein (sonst würde das uneigentliche Integral nicht existieren), oder allgemeiner Re s > 1, wenn s eine komplexe zahl ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 So 10.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo zahllos!
Vielen Dank für Deine Erklärung, jetzt ist es mir klar.
Also ist es so, dass man sagen kann
$ [mm] L[e^{a\cdot{}x}](s) [/mm] = [mm] \bruch{1}{s-x} [/mm] $
und das hier der Spezialfall $ [mm] e^{x} [/mm] $ mit a=1 vorliegt und deshalb:
$ [mm] L[e^{1\cdot{}x}](s) [/mm] = [mm] L[e^{x}](s) [/mm] = [mm] \bruch{1}{s-1} [/mm] $ gilt.
Viele Grüße und nochmals: Vielen Dank!
Andreas
|
|
|
|
