Laplace Experiment < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine faire Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal Kopf erscheint (höchstens 10 mal). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Münze k mal werfen müssen, mit [mm] k\in [/mm] {1,...,10}.
Geben Sie den Ergebnisraum [mm] \Omega [/mm] an. |
Hallo,
theoretisch müsste die Wahrscheinlichkeit beim k-ten Wurf das erste mal Kopf zu erhalten doch [mm] P=\frac{1}{2^k} [/mm] sein, oder?
Wie gibt man am Besten den Ergebnisraum an?
Ich hatte es so vor:
[mm] \Omega=\{\omega=(\omega_{1},...,\omega_{k})|\omega_{1},...\omega_{k-1}=0,\,\omega_{k}=1,\, k\in\{1,...,10\}\} [/mm] mit 0=Zahl, 1=Kopf.
Das sieht mir aber etwas komisch aus.
|
|
| |
|
> Eine faire Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal
> Kopf erscheint (höchstens 10 mal). Berechnen Sie die
> Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Münze k mal werfen
> müssen, mit [mm]k\in[/mm] {1,...,10}.
> Geben Sie den Ergebnisraum [mm]\Omega[/mm] an.
> Hallo,
>
> theoretisch müsste die Wahrscheinlichkeit beim k-ten Wurf
> das erste mal Kopf zu erhalten doch [mm]P=\frac{1}{2^k}[/mm] sein,
> oder? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Wie gibt man am Besten den Ergebnisraum an?
> Ich hatte es so vor:
>
> [mm]\Omega=\{\omega=(\omega_{1},...,\omega_{k})|\omega_{1},...\omega_{k-1}=0,\,\omega_{k}=1,\, k\in\{1,...,10\}\}[/mm]
> mit 0=Zahl, 1=Kopf.
> Das sieht mir aber etwas komisch aus.
Hallo
Gehe ich von der Beschreibung des Versuches
aus, würde ich so vorgehen: eine Ausführung des
Experiments besteht in einer (zunächst im Prinzip
beliebig langen) Wurfserie. Das Ergebnis des Expe-
riments ist eine natürliche Zahl k. Der dazu pas
sende Ergebnisraum wäre demzufolge [mm] \Omega=\IN [/mm] .
Wenn wir aber k auf maximal 10 beschränken,
müssen wir [mm] \Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,Z\} [/mm] setzen,
wobei Z für das Ereignis "kein Kopf in 10 Würfen"
steht. Dieses Ereignis Z müssen wir hinzunehmen,
weil sonst Omega nicht vollständig wäre !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> > Eine faire Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal
> > Kopf erscheint (höchstens 10 mal). Berechnen Sie die
> > Wahrscheinlichkeit, dass Sie die Münze k mal werfen
> > müssen, mit [mm]k\in[/mm] {1,...,10}.
> > Geben Sie den Ergebnisraum [mm]\Omega[/mm] an.
> > Hallo,
> >
> > theoretisch müsste die Wahrscheinlichkeit beim k-ten Wurf
> > das erste mal Kopf zu erhalten doch [mm]P=\frac{1}{2^k}[/mm] sein,
> > oder?
> >
> > Wie gibt man am Besten den Ergebnisraum an?
> > Ich hatte es so vor:
> >
> >
> [mm]\Omega=\{\omega=(\omega_{1},...,\omega_{k})|\omega_{1},...\omega_{k-1}=0,\,\omega_{k}=1,\, k\in\{1,...,10\}\}[/mm]
> > mit 0=Zahl, 1=Kopf.
> > Das sieht mir aber etwas komisch aus.
>
>
> Hallo
>
> Gehe ich von der Beschreibung des Versuches
> aus, würde ich so vorgehen: eine Ausführung des
> Experiments besteht in einer (zunächst im Prinzip
> beliebig langen) Wurfserie. Das Ergebnis des Expe-
> riments ist eine natürliche Zahl k. Der dazu pas
> sende Ergebnisraum wäre demzufolge [mm]\Omega=\IN[/mm] .
>
> Wenn wir aber k auf maximal 10 beschränken,
> müssen wir [mm]\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,Z\}[/mm] setzen,
> wobei Z für das Ereignis "kein Kopf in 10 Würfen"
> steht. Dieses Ereignis Z müssen wir hinzunehmen,
> weil sonst Omega nicht vollständig wäre !
>
> LG Al-Chw.
>
>
Ja gut, aber ist das nicht quasi geordnetes Ziehen ohne zurücklegen? Dann ist doch ein Elementarereignis ein k-Tupel mit (Z, ... ,Z,K) mit Z=Zahl. Muss ich das nicht irgendwie in den Ereignisraum mit aufnehmen?
Aber die Wahrscheinlichkeit erst beim k-ten Wurf Kopf zu bekommen ist schon [mm] (\frac{1}{2})^k [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
> Ja gut, aber ist das nicht quasi geordnetes Ziehen ohne
> zurücklegen? Dann ist doch ein Elementarereignis ein
> k-Tupel mit (Z, ... ,Z,K) mit Z=Zahl. Muss ich das nicht
> irgendwie in den Ereignisraum mit aufnehmen?
>
> Aber die Wahrscheinlichkeit erst beim k-ten Wurf Kopf zu
> bekommen ist schon [mm](\frac{1}{2})^k[/mm] oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja. Und eben weil dies so einfach zu sehen ist, sehe
ich hier keinen Anlass, einen "umfassenden" Ereignis-
raum aufzustellen. Ob das trotzdem von euch erwartet
wird, weiß ich nicht, aber ich fände es eher ein wenig d... 
Wenn wir eine ganze Wurfkette bis zum ersten
Kopf als eine elementare Ausführung des Versuchs
betrachten, kann man's kurz machen. Wenn du willst,
kannst du natürlich die 11 Elementarereignisse auch
ausführlich hinschreiben:
[mm] E_1: [/mm] <K>
[mm] E_2: [/mm] <Z,K>
[mm] E_3: [/mm] <Z,Z,K>
.....
.....
[mm] E_{10}: [/mm] <Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,K>
[mm] E_{11}: [/mm] <Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z,Z>
und dann
[mm] $\Omega=\{E_1,E_2,E_3,\,......\,,E_{10},E_{11}\}$
[/mm]
Meine Kurzschreibweise mit [mm] $\Omega=\{1,2,\,.......\,,10,Z\}$
[/mm]
ist nur eine kurze Zusammenfassung davon.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
