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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M-Ti |
Moin,
ich versuche gerade folgendes Anfangswert-Problem mit der Laplace-Transformation zu lösen:
y''+4y=sin(2t) mit y(0)=2 und y'(0)=2
[mm] s^2*F(s)-2s-1+4s*F(s)-8=\bruch{2}{s^2+4}
[/mm]
<->
[mm] F(s)[s^2+4s]=\bruch{2}{s^2+4}+2s+9
[/mm]
<->
[mm] F(s)=\bruch{2}{(s^2+4)*(s^2+4s)}+\bruch{2}{s+4}+\bruch{9}{s^2+4s}=\bruch{2}{(s^2+4)*s(s+4)}+\bruch{2}{s+4}+\bruch{9}{s^2+4s}
[/mm]
Bis dahin habe ich keine Fragen, aber jetzt:
Nun hab ich Probleme beim Ansatz zur Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{2}{(s^2+4)*s(s+4)}=\bruch{A}{s}+\bruch{Bs+C}{s^2+4}+\bruch{D}{s+4}
[/mm]
Zuhaltemethode:
--> [mm] A=\bruch{2}{(s^2+4)*(s+4)} [/mm] mit s=0 [mm] -->A=\bruch{1}{8}
[/mm]
--> [mm] D=\bruch{2}{(s^2+4)} [/mm] mit s=-4 folgt D=1/10
Mache ich das nun für B und C so, oder gibt es auch eine andere Möglichkeit:
[mm] 2=A(s^2+4)(s+4)+(Bs+C)(s(s+4))+D(s*(s^2+4))
[/mm]
Nullstellen: [mm] s^2+4=0 [/mm] --> s1=0 s2=-4
für s1=0: [mm] 2=\bruch{1}{8}*16+(B*Null+C)(Null*(Null+4)) [/mm] fallen B und C also weg
für s2=-4: [mm] 2=\bruch{1}{8}*Null+(-4B+C)(-4(Null)) [/mm] fallen B und C wieder weg...
Oder vielleicht so richtig:?
[mm] Bs+C=\bruch{2}{s(s+4)} [/mm] mit s1=0 --> C=0
[mm] Bs+C=\bruch{2}{s(s+4)} [/mm] mit s2=-4 und C=0 --> [mm] -4B=\bruch{2}{s(Null)} [/mm] --> B=0
[mm] \bruch{2}{s+4}=\bruch{E}{s+4} [/mm] --> E=2
[mm] \bruch{9}{s^2+4s}=\bruch{9}{s(s+4)}=\bruch{F}{s}+\bruch{G}{s+4}
[/mm]
--> [mm] F=\bruch{9}{s+4} [/mm] mit s=0 --> [mm] F=\bruch{9}{4}
[/mm]
[mm] -->G=\bruch{9}{s} [/mm] mit s=-4 --> [mm] G=-\bruch{9}{4}
[/mm]
Würde mich sehr freuen, wenn jemand antwortet. Vielleicht hat ja jemand eine digitale Formelsammlung zur Partialbruchserlegung (wann welcher Ansatz) und könnte sie bereitstellen?
Besten Dank
M-Ti
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Hallo M-Ti,
> Moin,
>
> ich versuche gerade folgendes Anfangswert-Problem mit der
> Laplace-Transformation zu lösen:
>
> y''+4y=sin(2t) mit y(0)=2 und y'(0)=2
>
> [mm]s^2*F(s)-2s-1+4s*F(s)-8=\bruch{2}{s^2+4}[/mm]
Da hast Du die Laplace-Transformation nicht richtig angewendet
[mm]s^2*F(s)-2s-\red{1}+4*\left(\blue{s*F(s)-2}\right)=\bruch{2}{s^2+4}[/mm]
Statt der rot markierten 1 muß [mm]y'\left(0\right)=2[/mm] stehen.
Statt dem blau markierten,
muß dort die Laplace-Transformierte von y stehen.
> <->
> [mm]F(s)[s^2+4s]=\bruch{2}{s^2+4}+2s+9[/mm]
> <->
>
> [mm]F(s)=\bruch{2}{(s^2+4)*(s^2+4s)}+\bruch{2}{s+4}+\bruch{9}{s^2+4s}=\bruch{2}{(s^2+4)*s(s+4)}+\bruch{2}{s+4}+\bruch{9}{s^2+4s}[/mm]
>
> Bis dahin habe ich keine Fragen, aber jetzt:
>
> Nun hab ich Probleme beim Ansatz zur
> Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{2}{(s^2+4)*s(s+4)}=\bruch{A}{s}+\bruch{Bs+C}{s^2+4}+\bruch{D}{s+4}[/mm]
>
> Zuhaltemethode:
> --> [mm]A=\bruch{2}{(s^2+4)*(s+4)}[/mm] mit s=0 [mm]-->A=\bruch{1}{8}[/mm]
> --> [mm]D=\bruch{2}{(s^2+4)}[/mm] mit s=-4 folgt D=1/10
>
> Mache ich das nun für B und C so, oder gibt es auch eine
> andere Möglichkeit:
> [mm]2=A(s^2+4)(s+4)+(Bs+C)(s(s+4))+D(s*(s^2+4))[/mm]
>
> Nullstellen: [mm]s^2+4=0[/mm] --> s1=0 s2=-4
> für s1=0: [mm]2=\bruch{1}{8}*16+(B*Null+C)(Null*(Null+4))[/mm]
> fallen B und C also weg
> für s2=-4: [mm]2=\bruch{1}{8}*Null+(-4B+C)(-4(Null))[/mm] fallen B
> und C wieder weg...
>
> Oder vielleicht so richtig:?
>
> [mm]Bs+C=\bruch{2}{s(s+4)}[/mm] mit s1=0 --> C=0
> [mm]Bs+C=\bruch{2}{s(s+4)}[/mm] mit s2=-4 und C=0 -->
> [mm]-4B=\bruch{2}{s(Null)}[/mm] --> B=0
>
>
>
> [mm]\bruch{2}{s+4}=\bruch{E}{s+4}[/mm] --> E=2
>
>
> [mm]\bruch{9}{s^2+4s}=\bruch{9}{s(s+4)}=\bruch{F}{s}+\bruch{G}{s+4}[/mm]
> --> [mm]F=\bruch{9}{s+4}[/mm] mit s=0 --> [mm]F=\bruch{9}{4}[/mm]
> [mm]-->G=\bruch{9}{s}[/mm] mit s=-4 --> [mm]G=-\bruch{9}{4}[/mm]
>
> Würde mich sehr freuen, wenn jemand antwortet. Vielleicht
> hat ja jemand eine digitale Formelsammlung zur
> Partialbruchserlegung (wann welcher Ansatz) und könnte sie
> bereitstellen?
>
> Besten Dank
> M-Ti
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M-Ti |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Sorry, hab das wohl 2 Aufgaben vermischt. Ich habe die richtige Aufgabe in einem 2. Thread gepostet. Dort habe ich das Problem, dass ich in den komplexen Bereich komme. Vlt. kannst du mir dort auch helfen...
Hier würde mich trotzdem (auch wenn die Aufgabenstellung mit dem Lösungsweg nicht übereinstimmt) wissen, was ich bei der Partialbruchzerlegung falsch mache? Wie muss der richtige Ansatz sein? Besten Dank....
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Hallo M-Ti,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Sorry, hab das wohl 2 Aufgaben vermischt. Ich habe die
> richtige Aufgabe in einem 2. Thread gepostet. Dort habe ich
> das Problem, dass ich in den komplexen Bereich komme. Vlt.
> kannst du mir dort auch helfen...
>
> Hier würde mich trotzdem (auch wenn die Aufgabenstellung
> mit dem Lösungsweg nicht übereinstimmt) wissen, was ich
> bei der Partialbruchzerlegung falsch mache? Wie muss der
> richtige Ansatz sein? Besten Dank....
Der Ansatz
[mm]\bruch{2}{(s^2+4)\cdot{}s(s+4)}=\bruch{A}{s}+\bruch{Bs+C}{s^2+4}+\bruch{D}{s+4}[/mm]
ist richtig.
Bei der Zuhaltemethode ist A richtig berechnet worden, jedoch D nicht:
[mm]D=\bruch{2}{\red{s}(s^2+4)}[/mm] mit s=-4 folgt D=-1/40
Wenn Du jetzt
[mm]\bruch{2}{(s^2+4)\cdot{}s(s+4)}-\bruch{A}{s}-\bruch{D}{s+4}[/mm]
berechnest, sollte ein Polynom
[mm]\bruch{\alpha*s+\beta}{s^{2}+4}}[/mm]
herauskommen.
Das heisst, [mm]B=\alpha, \ C=\beta[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M-Ti |
super, vielen vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M-Ti |
Ähmmm, ich hab das mal jetzt zu Fuß auf Blatt Papier gerechnet und habe B=C=-1/10
und für
[mm] \bruch{2}{s+4}=\bruch{E}{s+4} [/mm] --> E=2
[mm] \bruch{9}{s+4}=\bruch{Fs+G}{s+4} [/mm] --> F=0 und G=9 rausgefunden.
Hast du die Möglichkeit das schnell mit einem Mathe-Prog oder TR zu kontrollieren, ob die Werte stimmen?
Besten Dank
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Hallo M-Ti,
> Ähmmm, ich hab das mal jetzt zu Fuß auf Blatt Papier
> gerechnet und habe B=C=-1/10
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und für
>
> [mm]\bruch{2}{s+4}=\bruch{E}{s+4}[/mm] --> E=2
>
> [mm]\bruch{9}{s+4}=\bruch{Fs+G}{s+4}[/mm] --> F=0 und G=9
> rausgefunden.
Die Koeffizienten E,F und G stimmen
>
> Hast du die Möglichkeit das schnell mit einem Mathe-Prog
> oder TR zu kontrollieren, ob die Werte stimmen?
>
> Besten Dank
Gruss
MathePower
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