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Forum "Uni-Analysis" - Laplace-Transformation

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Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	01:06 Do 02.03.2006
Autor:	kruder

Aufgabe

 Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation die Bildfunktion der folgenden Orginalfunktionen:

1.)  [mm] f(t)=2*t*e^{-4*t}
 [/mm]

2.)  [mm] f(t)=e^{\delta-*t}*sin(\omega*t)
 [/mm]

3.)  f(t)= sinh(a*t)

4.)  [mm] f(t)=t^{3}
 [/mm]

5.)  [mm] f(t)=sin^{2}(t) [/mm]

Die Ergebnisse die ich habe lauten:

1.) [mm] F(s)=\bruch{2}{(s+4)^2} [/mm]

2.) [mm] F(s)=\bruch{\omega}{s^{2}+2*\delta*s+\omega^{2}+\delta^{2}} [/mm]

3.) [mm] F(s)=\bruch{-1}{2*(s+a)} [/mm]

4.) [mm] F(s)=\bruch{6}{s^{4}} [/mm]

5.) [mm] F(s)=\bruch{2}{s*(s^{2}+4)} [/mm]

Sind die Ergebnisse richtig? Oder habe ich Fehler gemacht?
Gruß & vielen Dank fürs Antworten
kruder

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Laplace-Transformation: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:17 Do 02.03.2006
Autor:	Herby

Hallo Kruder,

> Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung der
> Laplace-Transformation die Bildfunktion der folgenden
> Orginalfunktionen:
>
> 1.)  [mm]f(t)=2*t*e^{-4*t}[/mm]
>  2.)  [mm]f(t)=e^{\delta-*t}*sin(\omega*t)[/mm]
>  3.)  f(t)= sinh(a*t)
>  4.)  [mm]f(t)=t^{3}[/mm]
>  5.)  [mm]f(t)=sin^{2}(t)[/mm]

>  Die Ergebnisse die ich habe lauten:


> 1.) [mm]F(s)=\bruch{2}{(s+4)^2}[/mm]

> 2.) [mm] F(s)=\bruch{\omega}{s^{2}+2*\delta*s+\omega^{2}+\delta^{2}} [/mm]

nur, wenn die Funktion so heißt: [mm] f(t)=e^{-\delta*t}*sin(\omega*t) [/mm]
außerdem sieht es schöner aus, wenn du den Nenner "binomisch" zusammen fasst.

> 3.) [mm]F(s)=\bruch{-1}{2*(s+a)}[/mm]

hmm, ich hab da was anderes, kann mich aber auch täuschen ;-)

> 4.) [mm]F(s)=\bruch{6}{s^{4}}[/mm]

> 5.) [mm]F(s)=\bruch{2}{s*(s^{2}+4)}[/mm]

alle Angaben ohne Gewähr

Liebe Grüße
Herby

Bezug

Laplace-Transformation: Rückfrage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:59 Do 02.03.2006
Autor:	kruder

Hallo Herby,

> > Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung der
> > Laplace-Transformation die Bildfunktion der folgenden
> > Orginalfunktionen:
>  >
> > 1.)  [mm]f(t)=2*t*e^{-4*t}[/mm]
>  >  2.)  [mm]f(t)=e^{\delta-*t}*sin(\omega*t)[/mm]
>  >  3.)  f(t)= sinh(a*t)
>  >  4.)  [mm]f(t)=t^{3}[/mm]
>  >  5.)  [mm]f(t)=sin^{2}(t)[/mm]
>
> > 2.)
> [mm]F(s)=\bruch{\omega}{s^{2}+2*\delta*s+\omega^{2}+\delta^{2}}[/mm]
>
>

nur, wenn die Funktion so heißt:
> [mm]f(t)=e^{-\delta*t}*sin(\omega*t)[/mm]
>  außerdem sieht es schöner aus, wenn du den Nenner
> "binomisch" zusammen fasst.

Ja, das sollte es auch heißen. Stimmt sieht eleganter aus...

>
> > 3.) [mm]F(s)=\bruch{-1}{2*(s+a)}[/mm]
>
> hmm, ich hab da was anderes, kann mich aber auch täuschen
> ;-)

habs gerade nochmal nachgerechnet :

nach der Integration habe ich [mm] \bruch{e^{t*(-s-a)}}{2*(s+a)}-\bruch{e^{t*(a-s)}}{2*(s-a)} [/mm]

beim einsetzen der Grenzen komme ich auf:

[mm] [\bruch{-1}{2*(s-a)}]-[\bruch{1}{2*(s+a)}-\bruch{1}{2*(s-a)}] [/mm]

woraus sich dann wiederum [mm] \bruch{-1}{2*(s+a)} [/mm] ergibt...

Wie hast Du diese Aufgabe denn gelöst?

Gruß & Danke
kruder

Bezug

Laplace-Transformation: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	23:11 Fr 03.03.2006
Autor:	Herby

Hallo kruder,

> >

> > > 3.) [mm]F(s)=\bruch{-1}{2*(s+a)}[/mm]
> >
> > hmm, ich hab da was anderes, kann mich aber auch täuschen
> > ;-)

>
> habs gerade nochmal nachgerechnet :
>
> nach der Integration habe ich
> [mm]\bruch{e^{t*(-s-a)}}{2*(s+a)}-\bruch{e^{t*(a-s)}}{2*(s-a)}[/mm]

zuerst einmal hab' ich das andersherum:

[mm] \bruch{e^{t*(a-s)}}{2*(s-a)}+\bruch{e^{t*(-s-a)}}{2*(s+a)} [/mm]

und das ist gleich:

[mm] \bruch{e^{a*t-s*t}}{2*(s-a)}+\bruch{e^{t*(-s-a)}}{2*(s+a)} [/mm]

und das ist gleich:

[mm] \bruch{\red{e^{a*t}}*e^{-s*t}}{2*(s-a)}+\bruch{e^{t*(-s-a)}}{2*(s+a)} [/mm]

du siehst im Zähler ein [mm] e^{a*t} [/mm] und das verabschiedet sich für t gegen [mm] \infty [/mm] nie - ganz im Gegenteil.

aber wie schon gesagt, ich kann natürlich auch daneben liegen - daher lasse ich deine Frage "offen" und es wäre schön, wenn sich dieser Aufgabe noch jemand annehmen würde.
Falls du zwischenzeitlich die korrekte Lösung herausbekommst, dann stelle sie bitte hier herein.

Liebe Grüße
Herby

Bezug

Laplace-Transformation: nu ham' wa's

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:42 So 05.03.2006
Autor:	Herby

Hi,

zur Lösung des Problems :-)

ich hatte die ganze Zeit ein [mm] e^{-st} [/mm] als Faktor verdölmert:

[mm] \integral{\bruch{1}{2}*(e^{at}-e^{-at})*e^{-st} dt}=\bruch{(e^{-st})^{\bruch{a}{s}+1}*a-(e^{-st})^{\bruch{a}{s}+1}*s+(e^{-st})^{\bruch{-a}{s}+1}*a+(e^{-st})^{\bruch{-a}{s}+1}*s}{2*(a-s)*(a+s)} [/mm]

setze ich die Grenzen ein, so bleibt lediglich:

[mm] \bruch{2*a}{2*(a-s)*(a+s)}=\bruch{a}{a²-s²} [/mm]

und das war's auch schon

Liebe Grüße
Herby

Bezug

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